静水圧の分布とパスカルの原理

上面が大気に開いた容器に、密度 ${\rho }_2=1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の水を深さ $1.0\mathrm{m}$ まで入れ、その上に水と混ざらない密度 ${\rho }_1=8.0\times 10^{2}kg/{\mathrm{m}}^3$ の油を厚さ $0.50\mathrm{m}$ だけ静かに重ねた。油と水はどちらも静止しており、非圧縮性とみなす。油の上面にはたらく大気圧を $p_0$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

容器の底面での圧力 $p$ と大気圧 $p_0$ の差 $p-p_0$ は何 Pa か。整数で求めよ。

密度 $\rho$ の静止した水をためた貯水槽の鉛直な側壁に、幅 $w$、高さ $h$ の長方形の水門がはめ込まれている。水門の上端と下端は水平で、上端は水面から深さ $d(>0)$ の位置にある。水門の片側は水に接し、反対側は大気に接している。

水は非圧縮性で静止しており、重力加速度の大きさを $g$ とする。水面と水門の外側には同じ大気圧がはたらいている。水門が水から受ける力と大気から受ける力の合力の大きさ $F$ を、$\rho ,g,w,h,d$ を用いて表せ。

鉛直な側壁をもつ断面積 $S$ の円筒形の容器の底の中心に、半径 $a$、長さ $L$ のまっすぐな細い円管（毛細管）が鉛直下向きに取り付けられている。容器と円管には、密度 $\rho$、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が満たされている。円管の下端は大気に開いていて、流体はそこから流れ出る。容器の液面と円管の下端の出口での圧力は、どちらも大気圧 $p_0$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とする。

容器の底（円管の上端）から測った液面の高さを $h$ とし、時刻 $t=0$ で $h=h_0(>0)$ であった。次を仮定する。
- 円管の中の流れは、各瞬間において管軸に平行な十分に発達した定常層流（ハーゲン・ポアズイユ流）とみなせる（準定常近似）。円管の入口・出口付近の流れの乱れ、流出する流体の運動エネルギー、出口での表面張力は無視する。
- $S\gg \pi a^2$ であり、容器内の流体の速度は十分に小さく、容器内の圧力は静水圧分布に従う。
- 考える時間の間、円管は常に流体で満たされている。

液面の高さが $h=\frac{h_0}{2}$ になる時刻 $t_1$ を、$S,a,L,\rho ,\mu ,g,h_0$ を用いて表せ。

貯水槽の鉛直な壁に、幅 $w$、高さ $H$ の長方形の水門がある。水門の上辺は水平で、水面から深さ $d(>0)$ の位置にあり、上辺に沿った水平な軸（ちょうつがい）のまわりに自由に回転できる。水門の反対側（外側）は大気に接している。水門の下辺の位置に、外側から水平に大きさ $F$ の力を加えて、水門が鉛直のまま閉じた状態を保っている。

水は密度 $\rho$ の静止した非圧縮性流体とし、水面は大気に接している。重力加速度の大きさを $g$ とする。水門の質量、ちょうつがいの摩擦、水門の厚さは無視し、水門の下辺には $F$ 以外の力（壁から受ける力など）ははたらかないとする。

$F$ を $\rho ,g,w,H,d$ を用いて表せ。