流体力学・連続体の問題

密度 $\rho$ の静止した水をためた貯水槽の鉛直な側壁に、幅 $w$、高さ $h$ の長方形の水門がはめ込まれている。水門の上端と下端は水平で、上端は水面から深さ $d(>0)$ の位置にある。水門の片側は水に接し、反対側は大気に接している。

水は非圧縮性で静止しており、重力加速度の大きさを $g$ とする。水面と水門の外側には同じ大気圧がはたらいている。水門が水から受ける力と大気から受ける力の合力の大きさ $F$ を、$\rho ,g,w,h,d$ を用いて表せ。

静止した水をためた水槽の鉛直な壁に、幅 $b=2.0\mathrm{m}$、高さ $a=3.0\mathrm{m}$ の長方形の水門がある。水門の上端は水平で、水面から深さ $1.0\mathrm{m}$ の位置にあり、下端は深さ $4.0\mathrm{m}$ の位置にある。水門の反対側は大気に接しており、水面にも大気圧がはたらいている。水の密度を $\rho$、重力加速度の大きさを $g$ とし、水は非圧縮性とみなす。図心を通る水平軸のまわりの長方形の断面二次モーメントは $I_G=\frac{b{a}^3}{12}$ である。

水が水門に及ぼす正味の全圧力（大気圧の寄与を除いた力）の作用点、すなわち圧力中心の水面からの深さ $h_P$ は何 m か。小数で求めよ。

鉛直に置かれた、断面積 $S$ の一様な円筒形の容器がある。容器の上部は大気に開いている。容器の底には面積 $a$ の小さな穴があいていて、水はそこから大気中へ流れ出る。時刻 $t=0$ に容器が空の状態から、上から一定の体積流量 $Q(>0)$ で水を注ぎ始めた。

水位（底から水面までの高さ）を $h$ とする。十分に時間がたつと、水位は一定の値 $h_{\infty }$ に近づく。水位が $\frac{h_{\infty }}{4}$ に達する時刻を、$S,Q,a,g$ を用いて表せ。

ただし、次のように仮定する。
- 水は非圧縮性で粘性を無視できる完全流体とし、重力加速度の大きさを $g$ とする。
- $a\ll S$ であり、水面の降下・上昇の速さは穴から流れ出る水の速さに比べて無視できる。
- 各時刻で流れは定常とみなせ（準定常近似）、水面と穴の出口の圧力はどちらも大気圧に等しい。
- 注がれる水が水面を乱す影響と、穴の出口での縮流は無視する。

水平面と角 $\theta (0<\theta <\frac{\pi }{2})$ をなす十分に広い平らな斜面の上を、密度 $\rho$、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が、一定の厚さ $h$ の薄い液膜となって斜面に沿って定常に流れ下っている。

斜面に沿って下向きに $x$ 軸、斜面に垂直に上向きに $y$ 軸をとり（斜面上で $y=0$、液膜の自由表面で $y=h$）、流れは $x$ 方向の層流で、流速 $u(y)$ は $y$ だけの関数であるとする。斜面上では滑りなし条件 $u(0)=0$ が成り立ち、自由表面では空気から受けるせん断応力は $0$（${\frac{du}{dy}|}_{y=h}=0$）、圧力は一様な大気圧であるとする。重力加速度の大きさを $g$ とする。

液膜の、流れに垂直な単位幅あたりの体積流量 $q$ を、$\rho ,\mu ,g,h,\theta$ を用いて表せ。

長さ $L$、一様な断面積 $A$ のまっすぐな棒が、上端を天井に固定されて鉛直につり下げられ、自身の重さだけで静止している。棒は密度 $\rho$、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできている。重力加速度の大きさを $g$ とする。

棒の各断面には、その断面より下の部分の重さによる一様な鉛直方向の引張応力だけがはたらき、側面は自由（側面に垂直な方向の応力は 0）とする。ひずみは十分小さく、応力は変形前の断面積 $A$ と変形前の長さで計算してよく、ひずみの 2 次以上の項は無視する。

自重による棒全体の体積の増加量 $\Delta V$ を、変形前の体積 $V=AL$ で割った値 $\frac{\Delta V}{V}$ を、$\rho ,g,L,E,\nu$ を用いて表せ。