圧力・水圧・大気圧

圧力が面を垂直に押す単位面積あたりの力であること、静止した水中の水圧が面の向きによらず深さとともに大きくなること（ $p = p_{0} + ρ h g$ ）を判定できる

前提

水圧（中学理科力のはたらき）
圧力・水圧・大気圧・浮力の性質（中学理科物理分野の用語と知識）

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算数中学高校大学大学院

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2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
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水圧（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
力のつり合いと作用・反作用（中学理科物理分野の用語と知識）
圧力・水圧・大気圧・浮力の性質（中学理科物理分野の用語と知識）

説明

この技能を身につけると、圧力が「面を垂直に押す、単位面積あたりの力」であることを正しく判定できるようになります。また、静止した水の中の圧力（水圧）についての記述の正誤も判定できるようになります。水中の物体が受ける力、ダムや潜水の話、大気圧のはたらきなどを考えるときの土台になります。特に、水圧は同じ点では面の向きによらず、深さとともに大きくなり、 $p = p_{0} + ρ h g$ で表されることを使います。

なぜそうしてよいのか

圧力 $p$ は、面を垂直に押す力の大きさ $F$ を、その面の面積 $S$ で割ったもの $p = \frac{F}{S}$ です。単位は $N/ m^{2}$ で、これを $Pa$ （パスカル）と呼びます。同じ力でも、面積が小さいほど圧力は大きくなります。空気にも重さがあるので、地表のものは上空の空気に押されています。この圧力が大気圧 $p_{0}$ で、およそ $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ です。

水中の圧力は、力のつり合いから導けます。水面が大気に接している水の中に、水面から深さ $h$ まで伸びる断面積 $S$ の水の柱を考えます。水の密度を $ρ$ 、重力加速度の大きさを $g$ とします。柱の質量は $ρS h$ なので、柱にはたらく重力は下向きに $ρS h g$ です。柱の上面は大気に押され、下向きに $p_{0} S$ の力を受けます。柱の底面は下の水に押され、上向きに $pS$ の力を受けます（ $p$ は深さ $h$ での圧力）。柱の側面も周りの水に押されます。ただし、その力は側面に垂直なので水平向きです。そのため、鉛直方向のつり合いには入りません（水平方向の力どうしは、向かい合う側面で打ち消し合います）。水は静止しているので、鉛直方向の力はつり合います。よって $pS = p_{0} S + ρS h g$ が成り立ち、両辺を $S$ で割ると $p = p_{0} + ρ h g$ が得られます。 $S$ が消えるので、結果は柱の太さにも容器の形にもよらず、深さ $h$ だけで決まります。上の点と下の点で圧力が違うのは、その差がちょうど間の水の重さを支えているからです。

次に、面の向きについて考えます。静止した水の中の同じ 1 点に置いた面なら、上向き・横向き・斜め向きのどの向きにしても、受ける圧力の大きさは同じです。教科書では、この性質を実験で確かめられる事実として扱います。ここでもそのまま受け入れて使いますが、直観的な理由も示しておきます。その点のまわりの、ごく小さな三角柱の形の水を考えます。三角柱の面は、水平な面・鉛直な面・斜めの面です。三角柱を小さく縮めていくと、重さは体積に比例するので、面が受ける力（面積に比例）に比べてどんどん小さくなり、無視できます。すると、この小さな水は、各面を垂直に押す力だけでつり合っていることになります。斜めの面の力を水平と鉛直の向きに分けて考えると、どの面の圧力も等しくなければ、このつり合いは成り立ちません。こうして、同じ点での圧力は面の向きによらず、つねに面に垂直にはたらきます。

手順

選択肢に出てくる量が「力」か「圧力」かを確かめる。圧力は $p = \frac{F}{S}$ で、単位は $Pa = N/ m^{2}$ 。
圧力の向きを確かめる。圧力による力は、つねに面に垂直にはたらく。同じ点なら、面の向きを変えても圧力の大きさは変わらない。
水中の圧力の式 $p = p_{0} + ρ h g$ と照らし合わせる。 $h$ は水面からの深さ、 $p_{0}$ は水面を押す大気圧。深いほど圧力は大きい。
水圧が何で決まるかを確かめる。決めるのは深さ（と液体の密度・ $g$ ・大気圧）だけ。容器の形や断面積、水の量にはよらない。
以上に合わない記述を誤りとして除き、残ったものを選ぶ。

例題

水面が大気に接している容器の中の、静止した水の圧力についての記述として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。ただし、大気圧を $p_{0}$ 、水の密度を $ρ$ 、重力加速度の大きさを $g$ とする。
ア　同じ深さの点でも、上向きの面と横向きの面とでは、受ける水圧の大きさが異なる。
イ　同じ深さの点でも、容器の断面積が大きいほど、その点の水圧は大きい。
ウ　水面から深さ $h$ の点の圧力は $p_{0} + ρ h g$ である。
エ　圧力は面を押す力の大きさそのものなので、その単位は $N$ である。

例題の解答

手順1（力か圧力か）：圧力は単位面積あたりの力 $p = \frac{F}{S}$ で、単位は $N/ m^{2} = Pa$ です。 $N$ ではないので、エは誤りです。
手順2（向き）：静止した水の中の同じ点では、面の向きを変えても圧力の大きさは同じです。圧力は、どの面にも垂直にはたらきます。よってアは誤りです。
手順3（式との照合）：水面は大気に接しているので、水面を押す圧力は $p_{0}$ です。深さ $h$ までの水の柱で鉛直方向のつり合いを考えると $pS = p_{0} S + ρS h g$ となり、 $p = p_{0} + ρ h g$ が得られます。よってウは正しいです。
手順4（何で決まるか）：つり合いの式で断面積 $S$ は消えます。そのため、水圧は容器の断面積や形によらず、深さだけで決まります。よってイは誤りです。
手順5：正しいものはウです。

答え:

ウ

よくある誤り

水中の圧力を $p = ρ h g$ だけにして、水面を押す大気圧を忘れる誤り。正しくは、水面が大気に接しているとき $p = p_{0} + ρ h g$ である。水面（ $h = 0$ ）での圧力は $0$ ではなく $p_{0}$ になる。
水圧は上から押す力なので、下向きにしかはたらかないと考える誤り。正しくは、水圧はどの向きの面にも垂直にはたらく。同じ点なら、上向き・横向き・斜め向きのどの面でも、大きさは同じ $p_{0} + ρ h g$ である。
水の量が多い（容器が太い）ほど、底の水圧も大きいと考える誤り。正しくは、 $pS = p_{0} S + ρS h g$ で $S$ が消えるので、 $p = p_{0} + ρ h g$ は深さ $h$ だけで決まり、容器の形や断面積にはよらない。なお、底が受ける力の大きさ $pS$ は、底の面積に比例して大きくなる。
圧力と力を同じものとして扱い、単位を $N$ とする誤り。正しくは、圧力は $p = \frac{F}{S}$ で、単位は $Pa = N/ m^{2}$ である。たとえば $10 N$ の力が $0.010 m^{2}$ の面に垂直にはたらくとき、圧力は $1.0 \times 1 0^{3} Pa$ になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
大気中に置かれたプールに水が入っており、水は静止している。水面には大きさ $p_{0}$ の大気圧がはたらいている。水の密度を $ρ$ とし、密度は深さによらず一様とする。重力加速度の大きさを $g$ とする。この水中に、小さな薄い板を、プールの底や壁に触れないように入れて、板の面が受ける水圧を調べる。
ただし、この問題では、水中のある位置で面が水から受ける圧力（水面にはたらく大気圧の分も含めた圧力）を「水圧」とよぶ。
水中の水圧について述べた文として誤っているものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
- ア　同じ深さでは、板の面を上に向けても、下に向けても、横に向けても、板の面が受ける水圧の大きさは同じである。
- イ　板を水面からの深さ $h$ の位置から深さ $2 h$ の位置まで沈めると、板の面が受ける水圧の大きさは 2 倍になる。
- ウ　水面からの深さ $h$ の位置での水圧の大きさは、 $p_{0} + ρ h g$ と表される。
- エ　水圧によって板が受ける力は、板の面に垂直な向きにはたらく。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

浮力とアルキメデスの原理（高校物理力と運動（知識））
高度による気圧の減少と大気の質量の割合（高校地学大気と気象）
水深と水圧（高校地学海洋）
ベルヌーイの式とヘッド（大学物理流体工学）
静水圧の分布とパスカルの原理（大学物理流体力学・連続体）