ベルヌーイの式とヘッド

損失のない定常流でベルヌーイの式 $\frac{p}{ρ g} + \frac{v ^{2}}{2 g} + z =$ 一定（圧力ヘッド・速度ヘッド・位置ヘッド）を連続の式と組み合わせ、タンクからの流出速度 $v = 2 g h$ や管路の 2 点間の圧力差・流速を求められる

前提

連続の式と流量（大学物理流体工学）
圧力・水圧・大気圧（高校物理力と運動（知識））
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

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算数中学高校大学大学院

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説明

密度が一定で、摩擦などの損失がない定常な流れでは、流れに沿って「圧力・速さ・高さ」の間に一定の関係が成り立ちます。これをベルヌーイの式といい、高さの単位で書くと $\frac{p}{ρ g} + \frac{v ^{2}}{2 g} + z = 一定$ （各項を圧力ヘッド・速度ヘッド・位置ヘッドという）です。連続の式と組み合わせると、管が細くなった所の圧力の下がり方、タンクの穴から噴き出す水の速さ $v = 2 g h$ 、管路の 2 点間の圧力差や流速などを求められます。

なぜそうしてよいのか

流体の小さなかたまりにエネルギーの関係を使う: 管の中の流れに沿って、断面 1（断面積 $A_{1}$ 、圧力 $p_{1}$ 、流速 $v_{1}$ 、高さ $z_{1}$ ）と断面 2（ $A_{2}, p_{2}, v_{2}, z_{2}$ ）にはさまれた流体を考えます。短い時間 $Δ t$ の間に、断面 1 の流体は $v_{1} Δ t$ だけ、断面 2 の流体は $v_{2} Δ t$ だけ進みます。連続の式から押し出される体積はどちらも $Δ V = A_{1} v_{1} Δ t = A_{2} v_{2} Δ t$ です。

この間に後ろの流体が押す力 $p_{1} A_{1}$ がする仕事は $p_{1} A_{1} v_{1} Δ t = p_{1} Δ V$ 、前の流体に押し返される力がする仕事は $- p_{2} Δ V$ です。定常流なので、はさまれた部分の中身は変わらず、結果としては「断面 1 にあった質量 $ρ Δ V$ の流体が断面 2 に移った」のと同じです。摩擦の損失がなければ、運動エネルギーと重力による位置エネルギーの増加は、圧力がした仕事に等しいので
$(p_{1} - p_{2}) Δ V = \frac{1}{2} ρ Δ V (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) + ρ Δ V g (z_{2} - z_{1})$
です。 $Δ V$ で割って整理すると $p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g z_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g z_{2}$ 、さらに $ρ g$ で割ると
$\frac{p _{1}}{ρ g} + \frac{v _{1}^{2}}{2 g} + z_{1} = \frac{p _{2}}{ρ g} + \frac{v _{2}^{2}}{2 g} + z_{2}$
となります。各項はどれも長さの単位をもち、「単位重さの流体がもつエネルギーを高さに換算したもの」でヘッド（水頭）と呼びます。

意味: 流れが速くなる所では速度ヘッドが増える分だけ圧力ヘッドが下がります。また、流れが止まっている静止流体（ $v = 0$ ）では $p = p_{0} + ρ g (z_{0} - z)$ となり、水圧の式と一致します。タンクの水面（大気圧、速さほぼ $0$ ）と、水面から深さ $h$ の小さな穴（大気圧に噴出）に使えば $\frac{v ^{2}}{2 g} = h$ 、すなわち $v = 2 g h$ で、物体が高さ $h$ を落ちたときと同じ速さになります。

手順

流れに沿った 2 点（断面 1, 2）を選ぶ。わかっている量が多い点（水面・大気に開いた出口など）を選ぶとよい
高さの基準を決め、各点の $z$ を書く。大気に開いた点の圧力は大気圧 $p_{0}$ 、広いタンクの水面の流速は $0$ とみなす
連続の式 $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$ で、未知の流速を 1 つにまとめる
ベルヌーイの式 $\frac{p _{1}}{ρ g} + \frac{v _{1}^{2}}{2 g} + z_{1} = \frac{p _{2}}{ρ g} + \frac{v _{2}^{2}}{2 g} + z_{2}$ （または両辺に $ρ g$ を掛けた圧力の形）を立てる
求めたい量（圧力差・流速・流量）について解く。流量が必要なら $Q = A v$ で求める

例題

水平に置かれた管の内径が、断面 1 で $0.20 m$ 、断面 2 で $0.10 m$ に細くなっている。水（密度 $1000 kg/ m^{3}$ ）が断面 1 を平均流速 $1.0 m/s$ で定常に流れている。流れに損失はなく、各断面で流速は一様とする。断面 1 と断面 2 の圧力差 $p_{1} - p_{2}$ は何 $Pa$ か。正確な値で求めよ。

例題の解答

手順 1（2 点の選択）: 断面 1 と断面 2 を選ぶ。

手順 2（高さ）: 管は水平なので $z_{1} = z_{2}$ 。

手順 3（連続の式）: $v_{2} = v_{1} (\frac{d _{1}}{d _{2}})^{2} = 1.0 \times (\frac{0.20}{0.10})^{2} = 4.0 m/s$ 。

手順 4（ベルヌーイの式）: $z_{1} = z_{2}$ なので、両辺に $ρ g$ を掛けた形で
$p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} .$

手順 5（解く）:
$p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) = \frac{1}{2} \times 1000 \times (16 - 1) = 7500 Pa .$
細い所で流れが速くなる分、圧力が下がる。ヘッドで表すと $\frac{p _{1} - p _{2}}{ρ g} = \frac{v _{2}^{2} - v _{1}^{2}}{2 g} \approx 0.77 m$ （ $g = 9.8 m/ s^{2}$ のとき）。

答え: $7500$

よくある誤り

連続の式を使わずに $v_{2} = v_{1}$ のままにしたり、直径の比だけで $v_{2} = 2 v_{1}$ としてしまう誤り。正しくは断面積の比で $v_{2} = v_{1} (\frac{d _{1}}{d _{2}})^{2}$
速度の項を $ρ v^{2}$ や $\frac{v ^{2}}{g}$ としてしまう誤り。運動エネルギー $\frac{1}{2} m v^{2}$ に由来するので、正しくは圧力の形で $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ 、ヘッドの形で $\frac{v ^{2}}{2 g}$
圧力の形とヘッドの形の項を混ぜて $p + \frac{v ^{2}}{2 g} + z = 一定$ のように書いてしまう誤り。単位がそろわない。正しくは $\frac{p}{ρ g} + \frac{v ^{2}}{2 g} + z$ か $p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g z$ のどちらかにそろえる
タンクの流出速度で、穴の高さではなく水面の高さそのもの（床からの高さ）を $h$ にしてしまう誤り。正しくは $v = 2 g h$ の $h$ は水面と穴の高さの差（ $h = z_{水面} - z_{穴}$ ）で、両点とも大気圧であることを使っている

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
水平に置かれた管の中を水が満たして定常に流れている。管の断面 1 の断面積は断面 2 の断面積の $2$ 倍であり、断面 1 での流速は $2.0 m/s$ である。断面 1 と断面 2 の中心は同じ高さにある。水の密度を $ρ = 1000 kg/ m^{3}$ とし、水は非圧縮性で、流れにエネルギー損失はなく、各断面で流速は一様とする。
断面 1 と断面 2 の圧力差 $p_{1} - p_{2}$ は何 $kPa$ か。整数で答えよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

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