流体工学の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理流体工学

大気中で、厚さ $b$ 、速さ $V$ の一様な 2 次元の水の噴流（紙面に垂直な方向には一様で、奥行き方向の単位幅あたりで考える）が、固定された十分に広い平板に当たっている。平板の面と噴流の向きのなす角を $θ$ （ $0 < θ < \frac{π}{2}$ ）とする。噴流は平板に当たると、平板に沿って向きの異なる 2 つの流れに分かれ、平板から十分に離れたところでは、それぞれ平板に平行で一様な速度分布をもつ薄い層になる。噴流の中心線と平板の交点を O とする。平板が水から受ける力の作用線と平板の交点を P とするとき、距離 $OP$ を $b$ , $θ$ を用いて表せ。ただし、流れは定常で、水は非圧縮性の完全流体（粘性がない）とし、重力の影響は無視する。噴流の周囲および十分に離れた断面での流れの圧力はすべて大気圧に等しいものとする。

この問題で使うもの

運動量の法則と噴流が固定板に及ぼす力（説明と入口の問題）
ベルヌーイの式とヘッド（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（59 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

力の大きさだけでなく作用線の位置を求めるので、運動量の法則に加えて、O のまわりの角運動量の法則（モーメントのつりあい）を使います。そのために、分かれた 2 つの層の厚さを先に求めましょう。

ヒント 2

ベルヌーイの定理から分かれた層の速さはどちらも $V$ です。質量保存 $b_{1} + b_{2} = b$ と、粘性がないことによる平板方向の運動量保存 $b_{1} - b_{2} = b cos θ$ から $b_{1}$ , $b_{2}$ が決まります。

ヒント 3

平板に垂直な力は $F = ρ V^{2} b sin θ$ です。O のまわりの角運動量の流出は、各層の中心線が平板から $\frac{b _{1}}{2}$ , $\frac{b _{2}}{2}$ の位置にあることを使うと、大きさ $\frac{ρ V ^{2}}{2} (b_{1}^{2} - b_{2}^{2})$ になります。これが $F \times OP$ に等しいことを使いましょう。

答えと解説

答えを見る

\frac{b cos θ}{2 sin θ}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

水の密度を $ρ$ とし、奥行き方向の単位幅あたりで考える。平板に沿って、噴流の向きと鋭角をなす向きを $s$ 軸の正の向き、平板に垂直で噴流が来る側を $n$ 軸の正の向きとし、原点を O にとる。 $s$ 軸の正の向き・負の向きに分かれる層の厚さを $b_{1}$ , $b_{2}$ とする。

速さ噴流の周囲と十分離れた断面の圧力はすべて大気圧で、粘性がなく重力も無視するので、流線に沿ったベルヌーイの定理より、分かれた後の 2 つの層の速さはどちらも $V$ である。

質量保存 体積流量の保存より
$V b = V b_{1} + V b_{2} \Rightarrow b_{1} + b_{2} = b (1)$

平板に平行な方向の運動量の法則 粘性がないので平板は水に平板に平行な力を及ぼさず、周囲の圧力は一様なので圧力による正味の力もない。よって検査体積から流出する $s$ 方向の運動量と流入する運動量は等しい。
$ρ V^{2} b_{1} - ρ V^{2} b_{2} - ρ V^{2} b cos θ = 0 \Rightarrow b_{1} - b_{2} = b cos θ (2)$
$(1)$ , $(2)$ より $b_{1} = \frac{b ( 1 + cos θ )}{2}$ , $b_{2} = \frac{b ( 1 - cos θ )}{2}$ である。

平板に垂直な方向の運動量の法則 流入する噴流の速度の $n$ 成分は $- V sin θ$ 、流出する 2 つの層の $n$ 成分は $0$ なので、平板が水に及ぼす力（ $n$ の正の向き）を $F$ とすると
$F = 0 - ρ V b (- V sin θ) = ρ V^{2} b sin θ (3)$

角運動量の法則（O のまわりのモーメント） 定常流では、検査体積内の流体にはたらく力の O のまわりのモーメントは、流出する角運動量と流入する角運動量の差に等しい。紙面に垂直な成分を、 $s$ 軸から $n$ 軸へ回る向きを正として $r_{s} v_{n} - r_{n} v_{s}$ で計算する。
- 流入する噴流は中心線が O を通り、速度分布が一様で中心線に関して対称なので、O のまわりの角運動量の流入は $0$ である。
- $s$ の正の向きの層は、中心線が平板から $n = \frac{b _{1}}{2}$ の位置にあり、速度は $(V, 0)$ なので、角運動量の流出は $ρ V b_{1} \times (- \frac{b _{1}}{2} V) = - \frac{ρ V ^{2} b _{1}^{2}}{2}$ 。
- $s$ の負の向きの層は、中心線が $n = \frac{b _{2}}{2}$ にあり、速度は $(- V, 0)$ なので、角運動量の流出は $ρ V b_{2} \times \frac{b _{2}}{2} V = \frac{ρ V ^{2} b _{2}^{2}}{2}$ 。

周囲の大気圧は一様なのでモーメントを生まない。平板が水に及ぼす力 $F$ （ $n$ 方向）が平板上の点 $s = e$ にはたらくとすると、そのモーメントは $e F$ なので
$e F = - \frac{ρ V ^{2}}{2} (b_{1}^{2} - b_{2}^{2}) = - \frac{ρ V ^{2}}{2} (b_{1} + b_{2}) (b_{1} - b_{2}) = - \frac{ρ V ^{2} b ^{2} cos θ}{2}$
$(3)$ を代入して
$e = - \frac{ρ V ^{2} b ^{2} cos θ}{2 ρ V ^{2} b sin θ} = - \frac{b cos θ}{2 sin θ}$
となる。負の符号は、作用点 P が O から流量の小さい層（ $s$ の負の向き、上流側）の側にずれていることを表す。水が平板に及ぼす力は作用・反作用によりこれと同じ作用線をもつ。よって
$OP = \frac{b cos θ}{2 sin θ}$
である。

別解

板に沿う向きを $x$ （噴流の速度の板方向成分が正になる向き）、板に垂直で噴流が来る側を $y$ とし、単位幅あたりで考える。完全流体で重力なし、自由表面と十分離れた位置の圧力が大気圧なので、ベルヌーイの式より分かれた 2 つの流れの速さはどちらも $V$ 。

【流量の配分】分かれた流れの厚さを $b_{1}$ （ $+ x$ 向き）、 $b_{2}$ （ $- x$ 向き）とする。
質量保存： $b_{1} + b_{2} = b$ 。
板に沿う方向の運動量（板は滑らかで板方向の力は 0）： $ρ V^{2} b cos θ = ρ V^{2} (b_{1} - b_{2})$ より $b_{1} - b_{2} = b cos θ$ 。
$b_{1} = \frac{b ( 1 + cos θ )}{2}$ 、 $b_{2} = \frac{b ( 1 - cos θ )}{2}$ 。

【力の大きさ】板に垂直な方向の運動量より、水が板に及ぼす力は板に垂直で大きさ $N = ρ V^{2} b sin θ$ 。

【作用点】点 O まわりの角運動量の定理を水に適用する。流入する噴流の中心線は O を通るので流入する角運動量は 0。流出する 2 つの流れは板から高さ $b_{1} /2$ , $b_{2} /2$ を板に平行に流れる。板が水に及ぼす垂直力の作用点を O から $x = d$ とすると、そのモーメントは $N d$ で、これが流出する角運動量のフラックスに等しい：
$N d = - \frac{b _{1}}{2} ρ V^{2} b_{1} + \frac{b _{2}}{2} ρ V^{2} b_{2} = \frac{ρ V ^{2}}{2} (b_{2}^{2} - b_{1}^{2}) = - \frac{ρ V ^{2} b ^{2} cos θ}{2}$ 。

よって $d = - \frac{b cos θ}{2 sin θ}$ 。符号は、作用点 P が O から噴流の板方向成分と逆向き（上流側）にあることを示す。

$OP = \frac{b cos θ}{2 sin θ} = \frac{b}{2 tan θ}$ 。

検算： $θ \to π /2$ （垂直衝突）で $OP \to 0$ （左右対称で O 直下）。 $θ \to 0$ で発散（垂直力が小さくなる）。いずれも妥当。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる