流体工学の問題

小水力発電所で、大気に開放された大きな貯水池から、内径 $D=1.0\mathrm{m}$、長さ $L=1200\mathrm{m}$ の円形断面の水圧管で水車へ水を導き、水車を出た水は大気に開放された放水路へ流れ出る。貯水池の水面と放水路の水面の高さの差（総落差）は $H=90\mathrm{m}$ で、どちらの水面の高さも流量によらず一定とする。

水圧管の損失は管摩擦損失だけとし、管摩擦係数は $\lambda =0.020$ で流量によらず一定とする。管摩擦損失ヘッドはダルシー・ワイスバッハの式 $h_f=\lambda \frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$（$V$ は管内の平均流速）で表される。水車の効率は $\eta =0.90$ で流量によらず一定とし、水車に与えられる有効落差は、総落差から管摩擦損失ヘッドを引いたものとする（それ以外の損失や、放水路へ出る水の運動エネルギーは無視する）。

水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。体積流量 $Q$ を調節して水車の出力（軸動力）を最大にしたとき、その最大の出力は何 $\mathrm{MW}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

小水力発電所で、大気に開放された大きな貯水池から、内径 $D=1.0\mathrm{m}$、全長 $L=300\mathrm{m}$ のまっすぐな水圧管を通して水車へ水を導き、水車を出た水は大気に開放された大きな放水路の水槽へ放流される。貯水池の水面は放水路の水面より $H_g=80\mathrm{m}$ 高く、両水面の高さは変わらないとする。体積流量は $Q=2.0{\mathrm{m}}^3/s$ で定常である。

管路の損失として次の 3 つだけを考える。
- 水圧管の管摩擦損失（管摩擦係数 $\lambda =0.020$、ダルシー・ワイスバッハの式 $h_f=\lambda \frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$ を用いる）
- 貯水池から水圧管への入口損失（損失係数 $0.50$）
- 水車の出口側の管（内径は $D$ と同じ）から放水路水槽への出口損失（損失係数 $1.0$）

ここで $V$ は管内の平均流速である。水車の効率を $0.90$、水車に直結した発電機の効率を $0.95$ とし、水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

発電機の電気出力は何 $\mathrm{MW}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

大気中で、厚さ $b$、速さ $V$ の一様な 2 次元の水の噴流（紙面に垂直な方向には一様で、奥行き方向の単位幅あたりで考える）が、固定された十分に広い平板に当たっている。平板の面と噴流の向きのなす角を $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）とする。噴流は平板に当たると、平板に沿って向きの異なる 2 つの流れに分かれ、平板から十分に離れたところでは、それぞれ平板に平行で一様な速度分布をもつ薄い層になる。噴流の中心線と平板の交点を O とする。平板が水から受ける力の作用線と平板の交点を P とするとき、距離 $\mathrm{OP}$ を $b$, $\theta$ を用いて表せ。ただし、流れは定常で、水は非圧縮性の完全流体（粘性がない）とし、重力の影響は無視する。噴流の周囲および十分に離れた断面での流れの圧力はすべて大気圧に等しいものとする。

小水力発電所で、上部貯水池の水面と放水路の水面の高さの差（総落差）は $80\mathrm{m}$ である。水は内径 $D=1.0\mathrm{m}$、長さ $L=400\mathrm{m}$ の円管（水圧管）を通って水車に流れ込み、水車を出たあと放水路へ流れ出る。体積流量は $Q=3.0{\mathrm{m}}^3/s$ で一定である。

水圧管の管摩擦係数を $\lambda =0.020$ とし、管摩擦損失ヘッドはダルシー・ワイスバッハの式 $h_f=\lambda \frac{L}{D}\frac{v^2}{2g}$（$v$ は管内の平均流速）で表されるとする。管摩擦以外の損失（入口・曲がり・弁の損失や、放水路へ流れ出る水の運動エネルギーの損失）は無視する。両水面は大気に開放され、水面の高さは変わらないものとする。水車効率を $0.90$、発電機効率を $0.95$ とし、水の密度を $1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

この発電所の発電機の電気出力は何 $\mathrm{MW}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

水平な $x$ 軸の正の向きに、固定されたノズルから断面積 $A=1.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$、速さ $V=25m/s$（地面に対する速さ）の水の噴流が大気中に噴き出している。噴流の前方には、まっすぐな $x$ 軸方向のレール上を $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $u=5.0m/s$ で動く台車があり、台車には十分に大きな平板が固定されている。噴流を含む鉛直面内で、平板の面は $x$ 軸と $\theta =60^{\circ }$ の角をなしている。この鉛直面内で、向きの角度は $x$ 軸の正の向きから鉛直上向きの側へ回る向きを正として測るものとする。

噴流は平板に当たったあと、板面に沿って 2 つの薄い流れに分かれて流れ去る。台車とともに動く観測者から見ると、一方の流れは板面に沿って「斜め上前方（$x$ 軸の正の向きから $60^{\circ }$ の向き）」へ、もう一方は板面に沿ってその逆向きの「斜め下後方（$x$ 軸の正の向きから $240^{\circ }$ の向き）」へ流れ去る。

水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ とし、板面と水の間の摩擦、重力の影響、噴流の断面積の変化は無視する。噴流のまわりの圧力はどこでも大気圧とする。

このとき、水が平板に単位時間あたりにする仕事（台車に伝わる動力）$P[\mathrm{W}]$ と、斜め上前方へ流れ去る流れの質量流量 ${\dot{m}}_1[kg/s]$ を、この順に組 $(P,{\dot{m}}_1)$ で求めよ。ただし ${\dot{m}}_1$ は、台車とともに動く観測者から見て、平板から斜め上前方へ単位時間あたりに流れ去る水の質量とする（ノズルから単位時間に噴き出す水の質量 $\rho AV$ ではなく、平板に単位時間に到達する水のうち斜め上前方へ分かれる分である）。