流体工学の問題

平板とともに動く座標系で考える 平板は一定の速度で動くので、平板とともに動く座標系は慣性系であり、この系では流れが定常になる。この系で運動量の法則（検査体積に対する運動量の式）を使う。

平板に対する噴流の相対速度は $x$ 軸の正の向きに
$$V_r=V-u=25-5.0=20m/s$$
平板に単位時間に流れ込む水の質量は
$$\dot{m}=\rho A{V}_r=1.0\times 10^3\times 1.0\times 10^{-3}\times 20=20kg/s$$
（ノズルから単位時間に出る水の質量は $\rho AV=25kg/s$ だが、平板が遠ざかるのでノズルと平板の間の噴流が伸びていき、その差の分は平板にまだ届いていない。）

まわりの圧力がどこでも大気圧で、摩擦と重力を無視するので、ベルヌーイの定理より板面に沿って流れ去る水の相対速度の大きさも $V_r$ のままである。

流量の分かれ方（板面に沿う方向の運動量の式） 斜め上前方（$60^{\circ }$ の向き）の流れの質量流量を ${\dot{m}}_1$、斜め下後方（$240^{\circ }$ の向き）の流れを ${\dot{m}}_2$ とする。連続の式より
$${\dot{m}}_1+{\dot{m}}_2=\dot{m}(1)$$
板面との摩擦がないので、平板が水に及ぼす力は板面に垂直で、板面に沿う方向の力は $0$ である。流れ込む噴流の向き（$x$ 軸の正の向き）と斜め上前方の向きのなす角は $\theta$ であり、斜め下後方の流れはそれと逆向きなので、斜め上前方を正とする板面方向の運動量の式は
$${\dot{m}}_1{V}_r-{\dot{m}}_2{V}_r-\dot{m}{V}_r\cos \theta =0$$
よって
$${\dot{m}}_1-{\dot{m}}_2=\dot{m}\cos \theta (2)$$
$(1)$, $(2)$ より
$${\dot{m}}_1=\frac{1+\cos \theta }{2}\dot{m}=\frac{1+\frac{1}{2}}{2}\times 20=15kg/s$$

平板が受ける力（板面に垂直な方向の運動量の式） 流れ去る 2 つの流れは板面に沿うので、板面に垂直な速度成分をもたない。流れ込む水の板面に垂直な速度成分は $V_r\sin \theta$ なので、平板が水から受ける力の大きさ（板面に垂直）は
$$F_n=\dot{m}{V}_r\sin \theta =20\times 20\times \frac{\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{3}\mathrm{N}$$
この力の向きは板面の法線方向（$x$ 軸の正の向きから $-30^{\circ }$ の向き）で、$x$ 軸と $90^{\circ }-\theta =30^{\circ }$ の角をなすので、その $x$ 成分は
$$F_x=F_n\cos 30^{\circ }=F_n\sin \theta =\dot{m}{V}_r{\sin }^2\theta =20\times 20\times \frac{3}{4}=300\mathrm{N}$$
力は慣性系の取り方によらないので、地面から見ても平板は $x$ 方向に $300\mathrm{N}$ の力を受ける。

動力 平板は $x$ 方向に速さ $u$ で動き、鉛直方向には動かないので、水が平板にする仕事率は
$$P=F_{x}u=300\times 5.0=1500\mathrm{W}$$

したがって $(P,{\dot{m}}_1)=(1500,15)$ である。

台車とともに動く観測者から見ると、噴流は相対速さ $w=V-u=20m/s$ で $x$ 方向に平板へ向かう。平板に単位時間に到達する水の質量流量は、平板が遠ざかるので $\dot{m}=\rho A(V-u)=1.0\times 10^3\times 1.0\times 10^{-3}\times 20=20kg/s$。摩擦がなく圧力は大気圧なので、板面に沿った方向の運動量は保存され、流れ去る水の相対速さはどちらも $w$（ベルヌーイの式）。板面に垂直な方向の運動量成分は失われる。板の法線方向の相対速度成分は $w\sin 60^{\circ }$ なので、板が水から受ける力（法線方向）の大きさは $F=\dot{m}w\sin 60^{\circ }=20\times 20\times \frac{\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{3}\mathrm{N}$。その $x$ 成分は $F_x=F\sin 60^{\circ }=\dot{m}w{\sin }^{2}60^{\circ }=20\times 20\times \frac{3}{4}=300\mathrm{N}$。台車は $x$ 方向に速さ $u=5.0m/s$ で動くので、仕事率は $P=F_{x}u=300\times 5.0=1500\mathrm{W}$。（水の運動エネルギー収支でも確認: 地面系で単位時間に水が失う運動エネルギー $\frac{1}{2}\dot{m}(V^2-{\text{流出水の地面系の速さ}}^2)$ を計算できるが、ここでは相対系で $F_x=300$ N を得て $P=F_{x}u$ とした。）

板に沿う方向の運動量保存: 板面に沿った $60^{\circ }$ 向きの単位ベクトル方向の入射成分は $\dot{m}w\cos 60^{\circ }$。流れ去る 2 つの流れは速さ $w$ で、斜め上前方へ ${\dot{m}}_1$、逆向きへ ${\dot{m}}_2$ なので ${\dot{m}}_{1}w-{\dot{m}}_{2}w=\dot{m}w\cos 60^{\circ }$、すなわち ${\dot{m}}_1-{\dot{m}}_2=\dot{m}\cos 60^{\circ }=10kg/s$。質量保存 ${\dot{m}}_1+{\dot{m}}_2=20kg/s$ と合わせて ${\dot{m}}_1=15kg/s$、${\dot{m}}_2=5kg/s$。

検算: ${\dot{m}}_1+{\dot{m}}_2=20$、${\dot{m}}_1-{\dot{m}}_2=10$ を満たす。また板面に沿う力は $\dot{m}w\cos 60^{\circ }-({\dot{m}}_1-{\dot{m}}_2)w=200-200=0$ で摩擦なしと整合する。