連続の式と流量

円形断面の水平な管の中を水が満たして定常に流れている。管は途中で内径 $100\mathrm{mm}$ の部分 1 から内径 $50\mathrm{mm}$ の部分 2 へ細くなっている。部分 1 での断面平均流速は $1.5m/s$ である。水は非圧縮性（密度が一定）とし、管の途中で水の出入りはないものとする。

部分 2 での断面平均流速は何 $m/s$ か。正確な値（整数）で答えよ。

内径 $D=0.040\mathrm{m}$ のまっすぐな円管の中を、密度 $\rho =860kg/{\mathrm{m}}^3$、粘性係数 $\mu =0.043\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$ の潤滑油が満たして定常に流れている。レイノルズ数は管内の断面平均流速 $V$ と内径 $D$ を用いて $Re=\frac{\rho VD}{\mu }$ と定義し、$Re\leqq 2300$ のとき流れは層流になるものとする（臨界レイノルズ数を $2300$ とする）。油の温度は一定で、物性値は変化しないとする。

この管内の流れが層流であるための、体積流量の最大値は毎秒何リットル（$L/s$）か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし $1\mathrm{L}=1.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ とする。

内径 $D=2.0\mathrm{cm}$ のまっすぐな円管の中を、水が満たして定常に流れている。水の動粘性係数を $\nu =1.0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ とする。管内の平均流速を $V$ として、レイノルズ数を $Re=VD/\nu$ で定め、$Re$ が臨界レイノルズ数 $R{e}_c=2300$ より小さいとき流れは層流になるものとする。

管内の流れが層流であるような体積流量 $Q$ の上限（$Re=R{e}_c$ となるときの体積流量）を、$\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3/s$ 単位で、円周率 $\pi$ を用いた正確な値で求めよ。

大気中で、固定されたノズルから断面積 $A=1.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$、速さ $V=15m/s$ の水の噴流が水平に噴き出し、静止して固定された曲面板（羽根）に沿って流れて、水平面内で向きを変えて板から流れ去る。板から流れ去る噴流の速度の向きと、板に流れ込む噴流の速度の向きのなす角（偏向角）は $120^{\circ }$ である。水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ とする。板の表面の摩擦、重力の影響は無視し、噴流の周囲の圧力はどこでも大気圧に等しく、流れは定常であるとする。このとき、板から流れ去る噴流の速さは $V$ のままで、断面積も $A$ のままである。

噴流が板に及ぼす力の大きさは何 $\mathrm{N}$ か。根号を用いた正確な値で求めよ。

内側の断面が幅 $a=0.10\mathrm{m}$、高さ $b=0.050\mathrm{m}$ の長方形である、まっすぐな長いダクトの中を、空気が満たして定常に流れている。空気の動粘性係数を $\nu =1.5\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2/s$ とし、空気は非圧縮性とみなす。

ダクト内の流れのレイノルズ数を、断面平均流速 $V$ と水力直径 $D_h=\frac{4A}{s}$（$A$ は流路の断面積、$s$ はぬれ縁長さ（断面の周の長さ））を用いて $Re=\frac{V{D}_h}{\nu }$ と定義し、$Re<2300$ のとき流れは層流であるとする。

流れが層流となる体積流量の上限（$Re=2300$ となる体積流量）は何 ${\mathrm{m}}^3/s$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

動粘性係数 $\nu =4.0\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2/s$ の油を、体積流量 $Q=1.2\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3/s$ で、内径 $D$ のまっすぐな円管に流す。管内の流れは定常で、管内径を代表長さ、断面平均流速を代表速度とするレイノルズ数 $Re$ が $Re\le 2300$ のとき流れは層流、$Re>2300$ のとき乱流になるものとする。体積流量 $Q$ を変えずに流れを層流に保つために必要な、管の内径 $D$ の最小値は何 cm か。有効数字 2 桁で求めよ。円周率は $\pi =3.14$ としてよい。

内径 $D_1=0.10\mathrm{m}$ の円管 A と内径 $D_2=0.025\mathrm{m}$ の円管 B を、短い縮小管でつないだ配管がある。この配管の中を、密度 $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、粘性係数 $\mu =1.0\times 10^{-3}\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$ の水が満たして、一定の体積流量 $Q$ で定常に流れている。

円管内の流れのレイノルズ数を、断面の平均流速 $V$ と管の内径 $D$ を用いて $Re=\frac{\rho VD}{\mu }$ と定義し、$Re\le 2300$ のとき流れは層流であるとする。

円管 A と円管 B の両方で流れが層流となるような体積流量 $Q$ の最大値は何 $L/min$ か。$\pi =3.14$ として、有効数字 2 桁で求めよ。

大気に開放された大きな水槽から、内径 $D=0.10\mathrm{m}$、全長 $L=25\mathrm{m}$ の太さが一定の円管（サイフォン管）で水を汲み出す。管の出口は、水槽の水面より $H=3.5\mathrm{m}$ 低い位置にあり、水は出口から管と同じ断面のまま大気中へ自由噴流として流れ出る。管内は水で満たされ、流れは定常である。

管路の途中には、管路で最も高い点 C がある。管の入口から点 C までの管に沿った長さは $L_1=8.0\mathrm{m}$ である。損失は次のものだけを考える。
- 管摩擦損失：管摩擦係数 $f=0.020$ のダルシー・ワイスバッハの式 $h_f=f\frac{l}{D}\frac{V^2}{2g}$（$l$ は管の長さ、$V$ は断面平均流速）
- 入口損失：損失係数 $K_{\mathrm{in}}=0.50$
- 曲がり部の損失：管路には曲がり部が 2 か所あり、それぞれ損失係数 $K_b=0.25$。そのうち 1 か所は入口と点 C の間に、もう 1 か所は点 C と出口の間にある

局所損失はいずれも $K\frac{V^2}{2g}$ で表されるとする。大気圧を $p_a=1.013\times 10^5\mathrm{Pa}$、水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、断面内の速度分布の影響（運動エネルギー補正係数）は無視して $1$ とする。

空気の分離やキャビテーションを防ぐため、点 C の絶対圧力を $p_{\min }=3.0\times 10^4\mathrm{Pa}$ 以上に保ちたい。点 C を水槽の水面から最大で何 m の高さまで上げることができるか。有効数字 2 桁で求めよ。

二重管式熱交換器では、外管（内径 $D_o=0.060\mathrm{m}$）の中に内管（外径 $D_i=0.040\mathrm{m}$）が同心に置かれています。両管のすき間にできる円環状の流路は水で満たされており、水は十分に発達した定常流としてこの流路を流れます。管はまっすぐで十分に長いものとします。

水の条件は次のとおりです。
- 密度 $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$
- 粘性係数 $\mu =1.0\times 10^{-3}\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$

この流路のレイノルズ数は $Re=\frac{\rho V{D}_h}{\mu }$ で定義します。ここで、
- $V$ は円環流路の断面での平均流速
- $D_h$ は水力直径で、$D_h=\frac{4A}{P}$（$A$ は流路の断面積、$P$ は水に濡れている周の長さ）

臨界レイノルズ数を $R{e}_c=2300$ とし、$Re\le R{e}_c$ のとき流れは層流であるとします。

流れが層流に保たれる最大の体積流量は何 $L/min$ ですか。有効数字 3 桁で求めてください。ただし $1\mathrm{L}=1.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ とします。

小水力発電所で、上部貯水池の水面と放水路の水面の高さの差（総落差）は $80\mathrm{m}$ である。水は内径 $D=1.0\mathrm{m}$、長さ $L=400\mathrm{m}$ の円管（水圧管）を通って水車に流れ込み、水車を出たあと放水路へ流れ出る。体積流量は $Q=3.0{\mathrm{m}}^3/s$ で一定である。

水圧管の管摩擦係数を $\lambda =0.020$ とし、管摩擦損失ヘッドはダルシー・ワイスバッハの式 $h_f=\lambda \frac{L}{D}\frac{v^2}{2g}$（$v$ は管内の平均流速）で表されるとする。管摩擦以外の損失（入口・曲がり・弁の損失や、放水路へ流れ出る水の運動エネルギーの損失）は無視する。両水面は大気に開放され、水面の高さは変わらないものとする。水車効率を $0.90$、発電機効率を $0.95$ とし、水の密度を $1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

この発電所の発電機の電気出力は何 $\mathrm{MW}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

大気に開放された大きな水槽の底近くの側面に、内径 $D=0.050\mathrm{m}$、全長 $L=20\mathrm{m}$ の円管が取り付けられ、水が管の出口から大気中へ噴き出している。管の出口は水槽の水面より $6.0\mathrm{m}$ 低い位置にある。水槽は十分大きく、水面の高さは変わらず、水面での流速は無視できるものとする。流れは定常とする。

管の途中には $90^{\circ }$ エルボが 2 個と弁が 1 個ある。管内の平均流速を $v$、重力加速度の大きさを $g$ として、各損失ヘッドは次のとおりとする。
- 管摩擦損失（ダルシー・ワイスバッハの式）: $h_f=\lambda \frac{L}{D}\frac{v^2}{2g}$、管摩擦係数 $\lambda =0.025$
- 管入口の損失: ${\zeta }_{\mathrm{in}}\frac{v^2}{2g}$、${\zeta }_{\mathrm{in}}=0.50$
- エルボ 1 個あたりの損失: ${\zeta }_{\mathrm{b}}\frac{v^2}{2g}$、${\zeta }_{\mathrm{b}}=0.30$
- 弁の損失: ${\zeta }_{\mathrm{v}}\frac{v^2}{2g}$、${\zeta }_{\mathrm{v}}=1.9$

これら以外の損失は無視し、出口から噴き出す噴流の圧力は大気圧に等しいとする。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。このとき、管を流れる水の体積流量は何 $L/s$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

小水力発電所で、大気に開放された大きな貯水池から、内径 $D=1.0\mathrm{m}$、全長 $L=300\mathrm{m}$ のまっすぐな水圧管を通して水車へ水を導き、水車を出た水は大気に開放された大きな放水路の水槽へ放流される。貯水池の水面は放水路の水面より $H_g=80\mathrm{m}$ 高く、両水面の高さは変わらないとする。体積流量は $Q=2.0{\mathrm{m}}^3/s$ で定常である。

管路の損失として次の 3 つだけを考える。
- 水圧管の管摩擦損失（管摩擦係数 $\lambda =0.020$、ダルシー・ワイスバッハの式 $h_f=\lambda \frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$ を用いる）
- 貯水池から水圧管への入口損失（損失係数 $0.50$）
- 水車の出口側の管（内径は $D$ と同じ）から放水路水槽への出口損失（損失係数 $1.0$）

ここで $V$ は管内の平均流速である。水車の効率を $0.90$、水車に直結した発電機の効率を $0.95$ とし、水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

発電機の電気出力は何 $\mathrm{MW}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

水平に置かれた配管で、水が分岐点 P で 2 本の円管 1, 2 に分かれ、合流点 R で再び 1 本に合流している（並列管路）。水は分岐前の管を体積流量 $Q=0.020{\mathrm{m}}^3/s$ で定常に流れている。

• 円管 1: 内径 $D_1=0.10\mathrm{m}$、長さ $L_1=100\mathrm{m}$、管摩擦係数 ${\lambda }_1=0.020$。局所損失はない
• 円管 2: 内径 $D_2=0.050\mathrm{m}$、長さ $L_2=25\mathrm{m}$、管摩擦係数 ${\lambda }_2=0.025$。途中に損失係数 $\zeta =7.5$ の弁が 1 つある

内径 $D$、長さ $L$、管摩擦係数 $\lambda$ の円管の摩擦損失ヘッドはダルシー・ワイスバッハの式 $h=\lambda \frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$（$V$ は断面の平均流速）で、弁の損失ヘッドは $\zeta \frac{V^2}{2g}$ で表されるとする。分岐点・合流点での損失と、分岐点と合流点での速度ヘッドの差は無視する。管摩擦係数は流量によらない一定値とし、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$\pi =3.14$ とする。

分岐点 P から合流点 R までの損失ヘッドは何 $\mathrm{m}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

大気に開放された下部水槽から、大気に開放された上部水槽へ、遠心ポンプで水を送り上げる。上部水槽の水面は下部水槽の水面より $20\mathrm{m}$ 高い。両水槽は十分に大きく、水面の高さは一定で、水面での流速は無視できる。

配管は内径 $D=0.10\mathrm{m}$、全長 $L=100\mathrm{m}$（吸込み側と吐出し側の合計）の円管で、管摩擦係数は $\lambda =0.025$ とする。局所損失係数は、管入口が $0.5$、弁と曲がりの合計が $3.5$、管出口（上部水槽への流出）が $1.0$ である。各損失ヘッドは、管内の断面平均流速 $V$ を用いて「損失係数 $\times V^2/(2g)$」で表され、管摩擦損失は $\lambda \frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$ で表されるものとする。

このポンプの全揚程 $H[\mathrm{m}]$ と体積流量 $Q[{\mathrm{m}}^3/s]$ の関係（性能曲線）は
$$H=45-5000Q^2$$
で与えられ、運転点でのポンプ効率は $0.75$ である。水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、流れは定常とする。

この配管系でポンプを運転したときのポンプの軸動力は何 $\mathrm{kW}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

小水力発電所で、大気に開放された大きな貯水池から、内径 $D=1.0\mathrm{m}$、長さ $L=1200\mathrm{m}$ の円形断面の水圧管で水車へ水を導き、水車を出た水は大気に開放された放水路へ流れ出る。貯水池の水面と放水路の水面の高さの差（総落差）は $H=90\mathrm{m}$ で、どちらの水面の高さも流量によらず一定とする。

水圧管の損失は管摩擦損失だけとし、管摩擦係数は $\lambda =0.020$ で流量によらず一定とする。管摩擦損失ヘッドはダルシー・ワイスバッハの式 $h_f=\lambda \frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$（$V$ は管内の平均流速）で表される。水車の効率は $\eta =0.90$ で流量によらず一定とし、水車に与えられる有効落差は、総落差から管摩擦損失ヘッドを引いたものとする（それ以外の損失や、放水路へ出る水の運動エネルギーは無視する）。

水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。体積流量 $Q$ を調節して水車の出力（軸動力）を最大にしたとき、その最大の出力は何 $\mathrm{MW}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

大気に開放された大きな貯水池から、内径 $D=0.50\mathrm{m}$、長さ $L=1500\mathrm{m}$ のまっすぐな円管（水圧管）で水を導きます。管の末端には出口直径 $d$ のノズルがあり、そこから大気中に噴出する水の噴流がペルトン水車のバケットに当たります。貯水池の水面はノズル出口より $H_g=300\mathrm{m}$ 高いとします。ノズルの直径 $d$（$0<d<D$）と水車の回転数（バケットの周速度 $u$）は自由に選べます。次の条件のもとで、水車の軸出力の最大値を求めてください。答えは $\mathrm{MW}$ 単位で、有効数字 3 桁で答えてください。

• 流れは定常で、水は非圧縮性とみなします。水の密度は $\rho =1000kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさは $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とします。
• 水圧管の損失は管摩擦損失だけを考えます。管摩擦係数は $\lambda =0.020$ で、流量によらず一定とします。管入口・ノズルなどの局所損失は無視します。ノズル出口での噴流の速さは一様とします。
• 噴流の向きはバケットの運動方向と一致します。バケットに対する水の相対速度の向きはバケットにより $\beta =165^{\circ }$ だけ曲げられ、その大きさは入口での相対速度の大きさの $k=0.90$ 倍になります。噴流の流量はすべてバケットに作用するものとします。
• 水車の機械効率（バケットが水から受け取る動力に対する軸出力の比）は ${\eta }_m=0.96$ で一定とします。