流体工学の問題

内径 $D=0.050\mathrm{m}$ で太さが一定の円管の中を、水が満たして平均流速 $V=2.0m/s$ で定常に流れている。水は管上の点 1 から点 2 へ向かって流れている。点 1 から点 2 までの管の長さ（管路に沿った長さ）は $L=40\mathrm{m}$ で、点 2 は点 1 より $5.0\mathrm{m}$ 高い位置にある。点 1 と点 2 の間には、$90^{\circ }$ エルボが 2 個（損失係数はそれぞれ $0.30$）と仕切弁が 1 個（損失係数 $0.20$）ある。

管摩擦係数を $\lambda =0.025$ とし、管摩擦損失水頭はダルシー・ワイスバッハの式 $h_f=\lambda \frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$、局所損失水頭は（損失係数）$\times \frac{V^2}{2g}$ で表されるとする。損失はこれらだけとし、水は非圧縮性とみなす。水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。点 1 の圧力（ゲージ圧）が $300\mathrm{kPa}$ のとき、点 2 の圧力（ゲージ圧）は何 $\mathrm{kPa}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

内径が一定の $D=0.10\mathrm{m}$ の円管の中を、水が満たして断面平均流速 $V=2.0m/s$ で定常に流れている。水は管路上の点 1 から点 2 へ向かって流れ、その間に管に沿って長さ $L=200\mathrm{m}$ を流れる。点 2 は点 1 より $10\mathrm{m}$ 高い位置にある。点 1 と点 2 の間には、損失係数 $K=0.90$ のエルボが 2 個と、損失係数 $K=0.20$ の全開の弁が 1 個ある。管摩擦係数を $f=0.020$（ダルシー・ワイスバッハの式 $h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$ の係数）とし、局所損失ヘッドは $K\frac{V^2}{2g}$ で表されるものとする。局所損失は管長 $L$ による管摩擦損失とは別に加え、損失はこれらだけとする。水は非圧縮性とみなし、水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。点 1 での圧力（ゲージ圧）が $300\mathrm{kPa}$ のとき、点 2 での圧力（ゲージ圧）は何 kPa か。有効数字 3 桁で求めよ。

大気に開放された 2 つの大きな水槽 A, B が、内径 $D=0.10\mathrm{m}$、全長 $L=50\mathrm{m}$ のまっすぐな円管で結ばれており、管の途中には弁が 1 つある。水槽 A の水面は水槽 B の水面より $H=4.0\mathrm{m}$ 高く、水は A から B へ管を満たして定常に流れている。両水槽は十分に大きく、水面の高さは変わらないものとする。

管内の平均流速を $V$ とし、損失ヘッドは次のように表されるものとする。
- 管摩擦による損失: ダルシー・ワイスバッハの式 $h_f=\lambda \frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$、管摩擦係数 $\lambda =0.018$
- 入口（A から管へ）の損失: ${\zeta }_{\mathrm{in}}\frac{V^2}{2g}$、${\zeta }_{\mathrm{in}}=0.5$
- 弁の損失: ${\zeta }_{\mathrm{v}}\frac{V^2}{2g}$、${\zeta }_{\mathrm{v}}=1.5$
- 出口（管から B へ）の損失: ${\zeta }_{\mathrm{out}}\frac{V^2}{2g}$、${\zeta }_{\mathrm{out}}=1.0$

重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。管内の平均流速 $V$ は何 $m/s$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

大気に開放された大きな水槽の底近くの側面に、内径 $D=0.050\mathrm{m}$、全長 $L=20\mathrm{m}$ の円管が取り付けられ、水が管の出口から大気中へ噴き出している。管の出口は水槽の水面より $6.0\mathrm{m}$ 低い位置にある。水槽は十分大きく、水面の高さは変わらず、水面での流速は無視できるものとする。流れは定常とする。

管の途中には $90^{\circ }$ エルボが 2 個と弁が 1 個ある。管内の平均流速を $v$、重力加速度の大きさを $g$ として、各損失ヘッドは次のとおりとする。
- 管摩擦損失（ダルシー・ワイスバッハの式）: $h_f=\lambda \frac{L}{D}\frac{v^2}{2g}$、管摩擦係数 $\lambda =0.025$
- 管入口の損失: ${\zeta }_{\mathrm{in}}\frac{v^2}{2g}$、${\zeta }_{\mathrm{in}}=0.50$
- エルボ 1 個あたりの損失: ${\zeta }_{\mathrm{b}}\frac{v^2}{2g}$、${\zeta }_{\mathrm{b}}=0.30$
- 弁の損失: ${\zeta }_{\mathrm{v}}\frac{v^2}{2g}$、${\zeta }_{\mathrm{v}}=1.9$

これら以外の損失は無視し、出口から噴き出す噴流の圧力は大気圧に等しいとする。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。このとき、管を流れる水の体積流量は何 $L/s$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

小水力発電所で、大気に開放された大きな貯水池から、内径 $D=1.0\mathrm{m}$、全長 $L=300\mathrm{m}$ のまっすぐな水圧管を通して水車へ水を導き、水車を出た水は大気に開放された大きな放水路の水槽へ放流される。貯水池の水面は放水路の水面より $H_g=80\mathrm{m}$ 高く、両水面の高さは変わらないとする。体積流量は $Q=2.0{\mathrm{m}}^3/s$ で定常である。

管路の損失として次の 3 つだけを考える。
- 水圧管の管摩擦損失（管摩擦係数 $\lambda =0.020$、ダルシー・ワイスバッハの式 $h_f=\lambda \frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$ を用いる）
- 貯水池から水圧管への入口損失（損失係数 $0.50$）
- 水車の出口側の管（内径は $D$ と同じ）から放水路水槽への出口損失（損失係数 $1.0$）

ここで $V$ は管内の平均流速である。水車の効率を $0.90$、水車に直結した発電機の効率を $0.95$ とし、水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

発電機の電気出力は何 $\mathrm{MW}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。