流体工学の問題

大気に開放された 2 つの大きな水槽 A, B が、内径 $D=0.10\mathrm{m}$、全長 $L=50\mathrm{m}$ のまっすぐな円管で結ばれており、管の途中には弁が 1 つある。水槽 A の水面は水槽 B の水面より $H=4.0\mathrm{m}$ 高く、水は A から B へ管を満たして定常に流れている。両水槽は十分に大きく、水面の高さは変わらないものとする。

管内の平均流速を $V$ とし、損失ヘッドは次のように表されるものとする。
- 管摩擦による損失: ダルシー・ワイスバッハの式 $h_f=\lambda \frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$、管摩擦係数 $\lambda =0.018$
- 入口（A から管へ）の損失: ${\zeta }_{\mathrm{in}}\frac{V^2}{2g}$、${\zeta }_{\mathrm{in}}=0.5$
- 弁の損失: ${\zeta }_{\mathrm{v}}\frac{V^2}{2g}$、${\zeta }_{\mathrm{v}}=1.5$
- 出口（管から B へ）の損失: ${\zeta }_{\mathrm{out}}\frac{V^2}{2g}$、${\zeta }_{\mathrm{out}}=1.0$

重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。管内の平均流速 $V$ は何 $m/s$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

小水力発電所で、大気に開放された大きな貯水池から、内径 $D=1.0\mathrm{m}$、全長 $L=300\mathrm{m}$ のまっすぐな水圧管を通して水車へ水を導き、水車を出た水は大気に開放された大きな放水路の水槽へ放流される。貯水池の水面は放水路の水面より $H_g=80\mathrm{m}$ 高く、両水面の高さは変わらないとする。体積流量は $Q=2.0{\mathrm{m}}^3/s$ で定常である。

管路の損失として次の 3 つだけを考える。
- 水圧管の管摩擦損失（管摩擦係数 $\lambda =0.020$、ダルシー・ワイスバッハの式 $h_f=\lambda \frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$ を用いる）
- 貯水池から水圧管への入口損失（損失係数 $0.50$）
- 水車の出口側の管（内径は $D$ と同じ）から放水路水槽への出口損失（損失係数 $1.0$）

ここで $V$ は管内の平均流速である。水車の効率を $0.90$、水車に直結した発電機の効率を $0.95$ とし、水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

発電機の電気出力は何 $\mathrm{MW}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

小水力発電所で、上部貯水池の水面と放水路の水面の高さの差（総落差）は $80\mathrm{m}$ である。水は内径 $D=1.0\mathrm{m}$、長さ $L=400\mathrm{m}$ の円管（水圧管）を通って水車に流れ込み、水車を出たあと放水路へ流れ出る。体積流量は $Q=3.0{\mathrm{m}}^3/s$ で一定である。

水圧管の管摩擦係数を $\lambda =0.020$ とし、管摩擦損失ヘッドはダルシー・ワイスバッハの式 $h_f=\lambda \frac{L}{D}\frac{v^2}{2g}$（$v$ は管内の平均流速）で表されるとする。管摩擦以外の損失（入口・曲がり・弁の損失や、放水路へ流れ出る水の運動エネルギーの損失）は無視する。両水面は大気に開放され、水面の高さは変わらないものとする。水車効率を $0.90$、発電機効率を $0.95$ とし、水の密度を $1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

この発電所の発電機の電気出力は何 $\mathrm{MW}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

大気に開放された下部水槽から、大気に開放された上部水槽へ、遠心ポンプで水を送り上げる。上部水槽の水面は下部水槽の水面より $20\mathrm{m}$ 高い。両水槽は十分に大きく、水面の高さは一定で、水面での流速は無視できる。

配管は内径 $D=0.10\mathrm{m}$、全長 $L=100\mathrm{m}$（吸込み側と吐出し側の合計）の円管で、管摩擦係数は $\lambda =0.025$ とする。局所損失係数は、管入口が $0.5$、弁と曲がりの合計が $3.5$、管出口（上部水槽への流出）が $1.0$ である。各損失ヘッドは、管内の断面平均流速 $V$ を用いて「損失係数 $\times V^2/(2g)$」で表され、管摩擦損失は $\lambda \frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$ で表されるものとする。

このポンプの全揚程 $H[\mathrm{m}]$ と体積流量 $Q[{\mathrm{m}}^3/s]$ の関係（性能曲線）は
$$H=45-5000Q^2$$
で与えられ、運転点でのポンプ効率は $0.75$ である。水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、流れは定常とする。

この配管系でポンプを運転したときのポンプの軸動力は何 $\mathrm{kW}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

水平に置かれた配管で、水が分岐点 P で 2 本の円管 1, 2 に分かれ、合流点 R で再び 1 本に合流している（並列管路）。水は分岐前の管を体積流量 $Q=0.020{\mathrm{m}}^3/s$ で定常に流れている。

• 円管 1: 内径 $D_1=0.10\mathrm{m}$、長さ $L_1=100\mathrm{m}$、管摩擦係数 ${\lambda }_1=0.020$。局所損失はない
• 円管 2: 内径 $D_2=0.050\mathrm{m}$、長さ $L_2=25\mathrm{m}$、管摩擦係数 ${\lambda }_2=0.025$。途中に損失係数 $\zeta =7.5$ の弁が 1 つある

内径 $D$、長さ $L$、管摩擦係数 $\lambda$ の円管の摩擦損失ヘッドはダルシー・ワイスバッハの式 $h=\lambda \frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$（$V$ は断面の平均流速）で、弁の損失ヘッドは $\zeta \frac{V^2}{2g}$ で表されるとする。分岐点・合流点での損失と、分岐点と合流点での速度ヘッドの差は無視する。管摩擦係数は流量によらない一定値とし、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$\pi =3.14$ とする。

分岐点 P から合流点 R までの損失ヘッドは何 $\mathrm{m}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。