水圧

水圧が深さに比例し、あらゆる向きからはたらくことを使って、ある深さでの水圧を、その上にある水の柱の重さ÷底面積として求められる（水の密度 1 g/cm³ のとき、深さ 1 cm ごとに 100 Pa）

前提

密度の計算（中学理科身のまわりの物質）
大気圧による力（中学理科天気とその変化）

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算数中学高校大学大学院

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実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
メスシリンダーによる体積の測定（中学理科身のまわりの物質）
密度の計算（中学理科身のまわりの物質）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
大気圧による力（中学理科天気とその変化）

説明

水の中にある物体は、まわりの水からおされています。この水による圧力を水圧といいます。この技能では、水圧が深いほど大きくなる理由を理解し、ある深さでの水圧の大きさを「その上にある水の柱の重さ÷底面積」で計算できるようになります。水中に沈めた容器や板にはたらく力、ゴム膜のへこみ方の比較、浮力の理解などで使います。

なぜそうしてよいのか

水の中のある点を考え、その点をふくむ水平な面（底面積 $S$ ）の真上に、水面までまっすぐのびる水の柱を思いうかべます。この面は、上にある水の柱の重さを支えています。圧力は「面をおす力÷面積」なので、水圧は
$水圧〔 Pa 〕 = \frac{上にある水の柱の重さ〔 N 〕}{底面積〔 m ^{2} 〕}$
と考えられます。

実際に、底面積 $1 cm^{2} = 0.0001 m^{2}$ 、高さ（深さ） $h$ 〔cm〕の水の柱で計算してみます。体積は $h cm^{3}$ で、水の密度が $1 g/cm^{3}$ なら質量は $h$ 〔g〕、重さは $\frac{h}{100}$ 〔N〕です（質量 100 g で 1 N）。よって水圧は
$\frac{h /100}{0.0001} = 100 h 〔 Pa 〕$
となり、深さ 1 cm ごとに 100 Pa ずつ大きくなります。底面積を 2 倍にすると水の柱の重さも 2 倍になるので、割り算の結果は変わりません。つまり水圧は底面積や容器の形によらず、水面からの深さだけで決まり、深さに比例します。

また、水は形を自由に変えられるので、ある点では上からおされるだけでなく、横や下からも同じ大きさでおされます。水圧は面に垂直に、あらゆる向きからはたらき、同じ深さなら向きによらず大きさは等しくなります。だから水中の物体では、深い下の面ほど大きな水圧を受けます。

手順

水面からその点までの深さ $h$ を確かめる（容器の底からの高さではなく、水面から下向きにはかった長さ）
考えやすい底面積（たとえば $1 cm^{2}$ ）を決め、その上にある水の柱の体積を求める：体積 = 底面積 × 深さ
密度を使って水の柱の質量を求め、重さ〔N〕に直す（質量 100 g で 1 N）
底面積を $m^{2}$ に直し、水圧 = 水の柱の重さ ÷ 底面積を計算する
（確かめ）水の密度が $1 g/cm^{3}$ なら、深さ 1 cm ごとに 100 Pa になっているかを確かめる

例題

水の密度を $1 g/cm^{3}$ 、質量 100 g の物体にはたらく重力の大きさを 1 N とする。水そうに水を入れたとき、水面から深さ 25 cm の点での水圧は何 Pa ですか。ただし、大気圧は考えないものとする。

例題の解答

手順 1：水面からの深さは $h = 25$ cm。

手順 2：底面積 $1 cm^{2}$ の水の柱を考えると、体積は $1 \times 25 = 25 cm^{3}$ 。

手順 3：質量は $1 \times 25 = 25$ g なので、重さは $25 \div 100 = 0.25$ N。

手順 4：底面積は $1 cm^{2} = 0.0001 m^{2}$ なので、水圧は
$\frac{0.25}{0.0001} = 2500 Pa$

手順 5：深さ 1 cm ごとに 100 Pa なので $100 \times 25 = 2500$ Pa となり、一致する。

よって水圧は 2500 Pa である。

答え: $2500$

よくある誤り

容器の底からの高さを深さとしてしまう誤り。水の深さ 30 cm の水そうで底から 5 cm の点の水圧を $100 \times 5 = 500$ Pa とする。正しくは水面からの深さ $30 - 5 = 25$ cm を使って $100 \times 25 = 2500$ Pa
底面積を $m^{2}$ に直さずに割ってしまう誤り。 $0.25 \div 1 = 0.25$ Pa とする。正しくは $1 cm^{2} = 0.0001 m^{2}$ なので $0.25 \div 0.0001 = 2500$ Pa
水圧は上からだけはたらくと考えてしまう誤り。正しくは水圧はあらゆる向きから面に垂直にはたらき、同じ深さなら横向きや上向きの水圧も同じ大きさになる
水の量が多い（容器が広い）ほど同じ深さの水圧が大きいとしてしまう誤り。底面積が 2 倍なら水の柱の重さも 2 倍になり、 $\frac{重さ}{底面積}$ は変わらない。正しくは水圧は深さだけで決まり、深さ $h$ cm で $100 h$ Pa

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
水そうに水が入っていて、水は静止しています。水面から深さ $30 cm$ の点 P での水圧は何 Pa ですか。ただし、水の密度を $1 g/c m^{3}$ 、質量 $100 g$ の物体にはたらく重力の大きさを $1 N$ とし、大気圧は考えないものとします。
P30 cm
水そうを横から見た図

この技能を使う問題

難易度 3（公立高校入試の標準レベル）
1 辺が $5 cm$ の立方体の物体を糸でつるし、水そうの水の中に、上面と底面が水平になるようにして全体を沈めて静止させた。このとき、物体の上面は水面から $3 cm$ の深さにあった。
水の密度を $1 g/c m^{3}$ とし、質量 $100 g$ の物体にはたらく重力の大きさを $1 N$ とする。水圧は、その深さより上にある水の重さによって生じるものとし、大気による圧力は考えないものとする。このとき、物体の底面が水からおされる力の大きさは何 N ですか。
$3 cm$ $5 cm$
正面から見た図

この技能の次に学べること

圧力・水圧・大気圧（高校物理力と運動（知識））