動く板・羽根に当たる噴流の力と動力

板とともに動く座標系で相対速度 $V - u$ を使って板に到達する質量流量 $ρ A (V - u)$ と力 $F = ρ A (V - u)^{2}$ を求め、斜めの板では板面に沿った方向の運動量保存から流れの分かれ方を決めて、板に伝わる動力 $P = F u$ を求められる

前提

運動量の法則と噴流が固定板に及ぼす力（大学物理流体工学）
相対速度（高校物理運動の表し方）
仕事率と仕事の原理（高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））

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算数中学高校大学大学院

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説明

噴流が当たる板や羽根が一定の速さ $u$ で逃げるように動いていると、板が受ける力は固定板のときより小さくなり、そのかわり板は力を受けながら動くので仕事をされます。この技能では、板とともに動く座標系に乗って、相対速度 $V - u$ を使って運動量の法則を立て、板が受ける力 $F = ρ A (V - u)^{2}$ （垂直平板）や、板に伝わる動力（仕事率） $P = F u$ を求めます。斜めの板では、板に沿った方向の運動量から流れが二手にどう分かれるかも決められます。水車やタービンの羽根の働きを理解する基本です。

なぜそうしてよいのか

板と一緒に動く座標系で見る: 板が一定の速度 $u$ （噴流と同じ向き）で動くとき、板とともに等速で動く人から見ると、板は止まっていて、噴流は速さ $V - u$ （相対速度）で近づいてきます。等速で動く座標系でも運動の法則はそのまま成り立ち、力の大きさも変わらないので、この座標系では「速さ $V - u$ の噴流が固定板に当たる」問題になります。

板に届く質量流量: ノズルからは毎秒 $ρ A V$ の水が出ますが、板が逃げていくので、ノズルと板の間の噴流は毎秒 $A u$ ずつ長くなり、その分の水はまだ板に届いていません。板に毎秒届くのは $m ˙ = ρ A (V - u)$ です（板から見れば、断面積 $A$ の噴流が速さ $V - u$ で流れ込むのだから当然です）。垂直な平板では、板から見た進行方向の速度が $V - u$ から $0$ になる（板に沿って広がる）ので、
$F = m ˙ (V - u) = ρ A (V - u)^{2}$
です。 $u = 0$ なら固定板の $ρ A V^{2}$ に戻り、 $u = V$ なら噴流が板に追いつけず $F = 0$ です。

斜めの板での流れの分かれ方: 板と噴流のなす角を $θ$ とします。板から見た流れで、板の面に沿った方向には（摩擦を無視すれば）力がはたらかないので、その方向の運動量は保存します。損失がなければ板に沿って出ていく 2 つの流れの相対速さはどちらも $V - u$ のままなので、板に届く流量を $Q_{r} = A (V - u)$ 、二手の流量を $Q_{1}, Q_{2}$ とすると $Q_{1} + Q_{2} = Q_{r}$ 、 $Q_{1} - Q_{2} = Q_{r} cos θ$ となり、 $Q_{1} = \frac{1 + cos θ}{2} Q_{r}$ 、 $Q_{2} = \frac{1 - cos θ}{2} Q_{r}$ です。板に垂直な方向には、垂直成分 $(V - u) sin θ$ が失われるので、板に垂直な力は $ρ A (V - u)^{2} sin θ$ です。

動力: 板が力の $u$ 方向の成分 $F_{u}$ を受けながら速さ $u$ で動くと、1 秒あたり $F_{u} \cdot u$ の仕事をされます。仕事率の定義 $P = \frac{W}{t}$ から、板に伝わる動力は $P = F_{u} u$ です（垂直平板なら $P = ρ A (V - u)^{2} u$ ）。

手順

板の速度 $u$ と噴流の速度 $V$ から、板から見た噴流の相対速度 $V - u$ を求める（向きに注意。噴流と同じ向きに動くなら $V - u$ ）
板に届く質量流量 $m ˙ = ρ A (V - u)$ を求める（ノズルから出る $ρ A V$ ではない）
板とともに動く座標系で運動量の法則を成分ごとに立て、板が受ける力を求める。垂直平板なら $F = ρ A (V - u)^{2}$ 、斜めの板なら板に垂直な力 $ρ A (V - u)^{2} sin θ$
斜めの板で流れの分かれ方が必要なら、板に沿った方向の運動量保存と連続の式から $Q_{1} = \frac{1 + cos θ}{2} Q_{r}$ 、 $Q_{2} = \frac{1 - cos θ}{2} Q_{r}$ （ $Q_{r} = A (V - u)$ ）
板の運動方向の力の成分 $F_{u}$ に速さ $u$ を掛けて、動力 $P = F_{u} u$ を求める

例題

断面積 $1.0 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ のノズルから、水（密度 $1000 kg/ m^{3}$ ）が速さ $20 m/s$ の噴流となって大気中に水平に噴き出し、噴流に垂直な平板に当たる。平板は噴流と同じ向きに一定の速さ $8 m/s$ で動いている。水は板に沿って広がり、重力と摩擦は無視し、噴流のまわりの圧力はどこも大気圧とする。噴流が平板に伝える動力は何 $W$ か。正確な値で求めよ。

例題の解答

手順 1（相対速度）: 板から見た噴流の速さは $V - u = 20 - 8 = 12 m/s$ 。

手順 2（板に届く質量流量）: $m ˙ = ρ A (V - u) = 1000 \times 1.0 \times 1 0^{- 3} \times 12 = 12 kg/s$ 。

手順 3（力）: 板から見ると、噴流方向の相対速度が $12 m/s$ から $0$ になるので、板が受ける力は
$F = m ˙ (V - u) = 12 \times 12 = 144 N .$

手順 4: 垂直平板なので流れの分かれ方は不要。

手順 5（動力）: 力は板の運動方向を向いているので
$P = F u = 144 \times 8 = 1152 W .$

答え: $1152$

よくある誤り

質量流量にノズルから出る $ρ A V$ を使い、 $F = ρ A V (V - u)$ としてしまう誤り（単一の板では、届いていない水まで数えている）。正しくは板に届くのは $ρ A (V - u)$ で、 $F = ρ A (V - u)^{2}$
相対速度を使わずに固定板の式 $F = ρ A V^{2}$ をそのまま使い、 $P = ρ A V^{2} u$ としてしまう誤り。正しくは $P = ρ A (V - u)^{2} u$
相対速度を $V + u$ としてしまう誤り。板が噴流と同じ向きに逃げるときは相対速度は $V - u$ （板が噴流に向かってくるときだけ $V + u$ ）
斜めの板で流れを等分して $Q_{1} = Q_{2} = \frac{Q _{r}}{2}$ としてしまう誤り。板に沿った運動量保存 $Q_{1} - Q_{2} = Q_{r} cos θ$ から、正しくは $Q_{1} = \frac{1 + cos θ}{2} Q_{r}$ 、 $Q_{2} = \frac{1 - cos θ}{2} Q_{r}$ （等分になるのは $θ = \frac{π}{2}$ のときだけ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
大気中で、固定されたノズルから断面積 $A = 5.0 \times 1 0^{- 4} m^{2}$ 、速さ $V = 30 m/s$ （地面に対する速さ）の水の噴流が水平に噴き出している。噴流の前方に、噴流に垂直な大きな平板があり、平板は噴流と同じ向きに一定の速さ $u$ （ $0 < u < V$ ）で遠ざかっている。噴流は平板に当たったあと、平板に沿って（平板とともに動く座標系で見て噴流に垂直な向きに）流れ去る。このとき、噴流が平板を押す力の大きさを測ると $200 N$ であった。
水の密度を $ρ = 1.0 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$ とし、重力・摩擦・空気の影響は無視する。また、噴流の断面積と速さは平板に当たるまで変わらず、噴流内の圧力は大気圧に等しいものとする。平板の速さ $u$ は何 $m/s$ か。整数で答えよ。

動く板・羽根に当たる噴流の力と動力

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題