仕事率と仕事の原理

仕事率が単位時間あたりの仕事であること（ $P = W / t$ 、1 W は 1 秒間に 1 J の仕事）を説明でき、てこ・滑車・斜面を使っても仕事の量は変わらない（仕事の原理）ことを判定できる

前提

仕事の定義と正・負・0 （高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））

この技能までの道筋（41 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
仕事の定義と正・負・0 （高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））

説明

仕事率は「1 秒あたりにどれだけの仕事をしたか」を表す量で、 $P = \frac{W}{t}$ と書きます。単位はワット（記号 W）で、 $1 W = 1 J/s$ 、つまり 1 秒間に 1 J の仕事をする仕事率です。また、てこ・滑車・斜面などの道具を使うと、加える力を小さくできます。しかし、その分だけ動かす距離が長くなるので、仕事の量は変わりません。これを仕事の原理といい、道具についての文が正しいかどうかを見分けるときに使います。

なぜそうしてよいのか

仕事率がなぜ必要かを考えます。同じ荷物を同じ高さまで持ち上げれば、10 秒で行っても 100 秒で行っても仕事 $W$ は同じです。しかし、速く行うほうが「仕事の能率」は高いといえます。そこで、仕事を時間で割った $P = \frac{W}{t}$ を能率の目安にします。同じ仕事なら、時間が短いほど $P$ は大きくなります。なお、一定の力 $F$ で、力の向きに一定の速さ $v$ で動かすときは、 $P = \frac{F x}{t} = F v$ とも書けます。

仕事の原理は、仕事の定義 $W = F x cos θ$ から確かめられます。質量 $m$ の物体を高さ $h$ まで真上にゆっくり持ち上げる場合を基準にします。このとき必要な力は重力とつり合う $m g$ 、移動は力と同じ向きに $h$ なので、 $W = m g h$ です。

なめらかな傾斜角 $θ$ の斜面を使う場合を考えます。斜面に沿って引く力は重力の斜面方向の成分とつり合う $m g sin θ$ で、 $m g$ より小さくなります。ところが、高さ $h$ に達するまでに斜面に沿って $\frac{h}{s i n θ}$ 動かす必要があります。よって $W = m g sin θ \times \frac{h}{s i n θ} = m g h$ となり、仕事は同じです。動滑車（質量は無視）では、物体を 2 本の糸で支えるので引く力は $\frac{m g}{2}$ です。一方、物体を $h$ 上げるには糸を $2 h$ 引く必要があるので、やはり $W = \frac{m g}{2} \times 2 h = m g h$ です。てこでも同様で、力を $\frac{1}{n}$ にすると動かす距離は $n$ 倍になります。このように「力で得をすれば距離で損をする」ので、仕事そのものは得になりません。ただしこれは、摩擦や道具の質量を無視できる理想的な場合の話です。摩擦があると、その分だけ余分な仕事が必要になります。

手順

仕事率についての問いなら、仕事 $W$ とかかった時間 $t$ を確かめ、 $P = \frac{W}{t}$ にあてはめる（単位は $W = J/s$ ）。同じ仕事なら時間が短いほど $P$ は大きい。
道具についての問いなら、まず道具を使わずに真上へゆっくり持ち上げる場合の力と距離を書く（力 $m g$ 、距離 $h$ 、仕事 $m g h$ ）。
道具を使ったときに加える力 $F^{'}$ と、その力の向きに動かす距離 $x^{'}$ を求める（斜面: $F^{'} = m g sin θ$ , $x^{'} = \frac{h}{s i n θ}$ 、動滑車: $F^{'} = \frac{m g}{2}$ , $x^{'} = 2 h$ ）。
$W^{'} = F^{'} x^{'}$ を計算して $m g h$ と比べる。摩擦や道具の質量を無視できれば、力が小さくなった分だけ距離が長くなり、 $W^{'} = m g h$ で仕事は変わらない。
選択肢の文が「力」「距離」「仕事」「仕事率」のどれについて述べているかを区別し、上の結果と照らし合わせて正誤を判定する。

例題

仕事率と仕事の原理について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。ただし、摩擦や滑車の質量は無視できるものとし、物体はゆっくり動かすものとする。
ア　動滑車を 1 つ使って物体を持ち上げると、引く力が半分になるので、物体を同じ高さまで持ち上げるのに必要な仕事も半分になる。
イ　なめらかな斜面に沿って物体を引き上げると、引く力は真上に持ち上げるときより小さくてすむが、引く距離が長くなるので、同じ高さまで上げるのに必要な仕事は真上に持ち上げるときと等しい。
ウ　同じ量の仕事をするとき、長い時間をかけて行うほど仕事率は大きい。
エ　1 W は、1 秒間に 1 N の力を加え続けるときの仕事率である。

例題の解答

手順 1（仕事率の文の判定）: ウは仕事率の文です。 $P = \frac{W}{t}$ で $W$ が同じなら、 $t$ が長いほど $P$ は小さくなるので、ウは誤りです。エも仕事率の文です。 $1 W = 1 J/s$ は「1 秒間に 1 J の仕事」をする仕事率です。力の大きさだけでは仕事は決まらないので、エは誤りです。

手順 2（基準を書く）: 質量 $m$ の物体を高さ $h$ まで真上に持ち上げると、力は $m g$ 、距離は $h$ で、仕事は $m g h$ です。

手順 3（道具を使ったときの力と距離）: 動滑車では $F^{'} = \frac{m g}{2}$ 、 $x^{'} = 2 h$ です。傾斜角 $θ$ のなめらかな斜面では $F^{'} = m g sin θ$ 、 $x^{'} = \frac{h}{s i n θ}$ です。

手順 4（仕事を比べる）: 動滑車では $W^{'} = \frac{m g}{2} \times 2 h = m g h$ です。斜面では $W^{'} = m g sin θ \times \frac{h}{s i n θ} = m g h$ です。どちらも真上に持ち上げるときと同じ仕事になります。

手順 5（判定）: アは、力が半分になる点は正しいものの、仕事も半分になるとしている点が誤りです。イは、力が小さくなり距離が長くなって、仕事は等しいと述べており、手順 4 の結果と一致します。よって正しいものはイです。

答え:

イ

よくある誤り

動滑車を使うと仕事も半分になるとしてしまう誤り。正しくは、力は $\frac{m g}{2}$ に減るが糸を引く距離は $2 h$ に増えるので、仕事は $\frac{m g}{2} \times 2 h = m g h$ のまま変わらない。
斜面を使ったときの仕事を、斜面方向の力と高さの積 $m g sin θ \times h$ としてしまう誤り。正しくは、力の向き（斜面に沿う向き）に動いた距離 $\frac{h}{s i n θ}$ を掛けて、 $m g sin θ \times \frac{h}{s i n θ} = m g h$ とする。
仕事率を仕事の大きさや力の大きさと混同してしまう誤り。たとえば「時間をかけるほど仕事率が大きい」「1 W は 1 N の力」とする誤りがある。正しくは $P = \frac{W}{t}$ で、同じ仕事なら時間が短いほど大きく、 $1 W = 1 J/s$ である。
摩擦がある場合にも、道具を使ったときの仕事が $m g h$ ちょうどになるとしてしまう誤り。正しくは、仕事の原理が成り立つのは摩擦や道具の質量を無視できる場合である。摩擦があると、動摩擦力に逆らう分だけ余分な仕事が必要になり、加える仕事は $m g h$ より大きくなる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
同じ重さの荷物を、床から同じ高さまで、A さんと B さんがそれぞれ別の方法で持ち上げた。A さんは道具を使わずに荷物を直接真上に、4.0 秒かけてゆっくり持ち上げた。B さんはてこを使って、8.0 秒かけてゆっくり持ち上げた。てこの重さと摩擦は無視でき、荷物はどちらの場合もゆっくり動かしたので、持ち上げ終わったときの荷物の速さは無視できるものとする。
「B さんがてこを通して荷物にした仕事は、A さんが荷物にした仕事と比べて（ a ）。また、仕事率が大きいのは（ b ）である。」
文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして正しいものを、次の表のア〜エのうちから 1 つ選べ。
a b
ア小さい A さん
イ等しい A さん
ウ小さい B さん
エ等しい B さん

	a	b
ア	小さい	A さん
イ	等しい	A さん
ウ	小さい	B さん
エ	等しい	B さん

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

動く板・羽根に当たる噴流の力と動力（大学物理流体工学）
抗力係数・揚力係数による抗力と揚力（大学物理流体工学）
ポンプ・水車の動力と効率（大学物理流体工学）