ポンプ・水車の動力と効率

ポンプを使って、下の水槽の水を上の水槽へ流量 $Q=0.030{\mathrm{m}}^3/s$ で送る。2 つの水槽の水面はどちらも大気圧にさらされており、水面の高さの差（実揚程）は $18\mathrm{m}$ である。管路全体の損失ヘッドの合計は $2.0\mathrm{m}$ とし、水槽は十分大きく水面での流速は無視できるものとする。水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、ポンプの効率を $\eta =0.70$ とする。

このポンプを運転するのに必要な軸動力は何 W か。整数で求めよ。

大気に開放された下部水槽から、大気に開放された上部水槽へ、ポンプで水を体積流量 $Q=0.040{\mathrm{m}}^3/s$ で送り上げる。上部水槽の水面は下部水槽の水面より $25\mathrm{m}$ 高く、両水槽の水面の高さは一定に保たれている。吸込み管と吐出し管を合わせた管路全体の損失ヘッド（管摩擦や曲がりなどによるもの）は $5.0\mathrm{m}$ である。

ポンプの全効率を $0.80$、水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。両水槽の水面での流速は無視できるものとする。このポンプを運転するのに必要な軸動力は何 $\mathrm{W}$ か。整数で答えよ。

ある水力発電所では、上部の貯水池の水面と、水車出口の放水路の水面との高さの差（総落差）が $H_g=80\mathrm{m}$ である。水は体積流量 $Q=2.5{\mathrm{m}}^3/s$ で水圧管を通って水車に流れ込む。貯水池から水車に入るまでの管路（水圧管など）での損失ヘッドの合計は $h_L=5.0\mathrm{m}$ であり、水車出口から放水路水面までの損失や水車出口での速度ヘッドは考えないものとする。水車の効率 ${\eta }_t=0.90$ は、有効落差 $H_g-h_L$ による水動力に対する水車の軸出力の比とする。水車に直結した発電機の効率（軸入力に対する電気出力の比）を ${\eta }_g=0.95$ とし、水車と発電機の間の伝達損失はないものとする。水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、貯水池と放水路の水面はどちらも大気に開放されていて水面での流速は無視できるものとする。流れは定常で、水は非圧縮とみなす。このとき、発電機の電気出力は何 $\mathrm{kW}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ある小水力発電所では、大気に開放された上部貯水池から水圧管で水を水車に導き、水車を出た水を大気に開放された放水路へ流している。上部貯水池の水面と放水路の水面の高さの差（総落差）は $H_g=80\mathrm{m}$ で、水圧管などでの損失ヘッドの合計は $h_L=6.0\mathrm{m}$ である。水車を通る水の体積流量は $Q=3.0{\mathrm{m}}^3/s$ で、水車の効率は ${\eta }_t=0.90$、水車に直結した発電機の効率は ${\eta }_g=0.95$ である。水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、両水面の高さは変わらず、両水面での水の速さは無視できるものとする。発電機の電気出力は何 MW か。有効数字 2 桁で求めよ。

大型の遠心ポンプ（実物）の性能を予測するため、実物と幾何学的に相似な模型ポンプを水で試験した。模型の羽根車の外径は $D_m=0.20\mathrm{m}$ である。最高効率点では、体積流量 $Q_m=0.050{\mathrm{m}}^3/s$、全揚程 $H_m=20\mathrm{m}$、効率 ${\eta }_m=0.80$ であった。

実物の羽根車の外径は $D_p=0.80\mathrm{m}$ で、同じく水を送る。実物は、模型の最高効率点と力学的に相似な運転状態（無次元の流量係数 $\frac{Q}{n{D}^3}$ と揚程係数 $\frac{gH}{n^2{D}^2}$ が模型と等しい状態。$n$ は回転速度）で、全揚程 $H_p=45\mathrm{m}$ を出すように回転速度を選んで運転する。

寸法の違いによる効率の変化（寸法効果）は、ムーディの式
$$\frac{1-{\eta }_p}{1-{\eta }_m}={\left(\frac{D_m}{D_p}\right)}^{1/5}$$
で補正する。ここで ${\eta }_p$ は実物の効率である。効率は $\eta =\frac{\rho gQH}{P}$（$P$ は軸動力）で定義する。水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、効率の補正以外のレイノルズ数の影響は無視する。

このとき、実物ポンプの軸動力 $P_p$ は何 $\mathrm{kW}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

小水力発電所で、上部貯水池の水面と放水路の水面の高さの差（総落差）は $80\mathrm{m}$ である。水は内径 $D=1.0\mathrm{m}$、長さ $L=400\mathrm{m}$ の円管（水圧管）を通って水車に流れ込み、水車を出たあと放水路へ流れ出る。体積流量は $Q=3.0{\mathrm{m}}^3/s$ で一定である。

水圧管の管摩擦係数を $\lambda =0.020$ とし、管摩擦損失ヘッドはダルシー・ワイスバッハの式 $h_f=\lambda \frac{L}{D}\frac{v^2}{2g}$（$v$ は管内の平均流速）で表されるとする。管摩擦以外の損失（入口・曲がり・弁の損失や、放水路へ流れ出る水の運動エネルギーの損失）は無視する。両水面は大気に開放され、水面の高さは変わらないものとする。水車効率を $0.90$、発電機効率を $0.95$ とし、水の密度を $1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

この発電所の発電機の電気出力は何 $\mathrm{MW}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

小水力発電所で、大気に開放された大きな貯水池から、内径 $D=1.0\mathrm{m}$、全長 $L=300\mathrm{m}$ のまっすぐな水圧管を通して水車へ水を導き、水車を出た水は大気に開放された大きな放水路の水槽へ放流される。貯水池の水面は放水路の水面より $H_g=80\mathrm{m}$ 高く、両水面の高さは変わらないとする。体積流量は $Q=2.0{\mathrm{m}}^3/s$ で定常である。

管路の損失として次の 3 つだけを考える。
- 水圧管の管摩擦損失（管摩擦係数 $\lambda =0.020$、ダルシー・ワイスバッハの式 $h_f=\lambda \frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$ を用いる）
- 貯水池から水圧管への入口損失（損失係数 $0.50$）
- 水車の出口側の管（内径は $D$ と同じ）から放水路水槽への出口損失（損失係数 $1.0$）

ここで $V$ は管内の平均流速である。水車の効率を $0.90$、水車に直結した発電機の効率を $0.95$ とし、水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

発電機の電気出力は何 $\mathrm{MW}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

大気に開放された下部水槽から、大気に開放された上部水槽へ、遠心ポンプで水を送り上げる。上部水槽の水面は下部水槽の水面より $20\mathrm{m}$ 高い。両水槽は十分に大きく、水面の高さは一定で、水面での流速は無視できる。

配管は内径 $D=0.10\mathrm{m}$、全長 $L=100\mathrm{m}$（吸込み側と吐出し側の合計）の円管で、管摩擦係数は $\lambda =0.025$ とする。局所損失係数は、管入口が $0.5$、弁と曲がりの合計が $3.5$、管出口（上部水槽への流出）が $1.0$ である。各損失ヘッドは、管内の断面平均流速 $V$ を用いて「損失係数 $\times V^2/(2g)$」で表され、管摩擦損失は $\lambda \frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$ で表されるものとする。

このポンプの全揚程 $H[\mathrm{m}]$ と体積流量 $Q[{\mathrm{m}}^3/s]$ の関係（性能曲線）は
$$H=45-5000Q^2$$
で与えられ、運転点でのポンプ効率は $0.75$ である。水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、流れは定常とする。

この配管系でポンプを運転したときのポンプの軸動力は何 $\mathrm{kW}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

大型の遠心ポンプ（実物）を設計するため、実物と幾何学的に相似な羽根車外径 $D_m=0.20\mathrm{m}$ の模型ポンプで水を用いて性能試験を行った。模型を回転数 $n_m=1800\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$ で運転したとき、最高効率点で体積流量 $Q_m=0.050{\mathrm{m}}^3/s$、全揚程 $H_m=20\mathrm{m}$、ポンプ効率 ${\eta }_m=0.80$ が得られた。

実物の羽根車外径は $D_p=0.80\mathrm{m}$ で、実物も水を送り、模型の最高効率点と力学的に相似な運転状態（流量係数 $Q/(n{D}^3)$ と揚程係数 $gH/(n^2{D}^2)$ が模型と等しい状態）で全揚程 $H_p=45\mathrm{m}$ を出すように回転数を選ぶ。寸法効果による効率の違いは、ムーディの式
$$\frac{1-{\eta }_p}{1-{\eta }_m}={\left(\frac{D_m}{D_p}\right)}^{1/5}$$
で補正して実物の効率 ${\eta }_p$ を見積もるものとする。水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。このとき、実物ポンプの軸動力は何 $\mathrm{kW}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。