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流体工学の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理流体工学

大型の遠心ポンプ（実物）の性能を予測するため、実物と幾何学的に相似な模型ポンプを水で試験した。模型の羽根車の外径は $D_{m} = 0.20 m$ である。最高効率点では、体積流量 $Q_{m} = 0.050 m^{3} /s$ 、全揚程 $H_{m} = 20 m$ 、効率 $η_{m} = 0.80$ であった。

実物の羽根車の外径は $D_{p} = 0.80 m$ で、同じく水を送る。実物は、模型の最高効率点と力学的に相似な運転状態（無次元の流量係数 $\frac{Q}{n D ^{3}}$ と揚程係数 $\frac{g H}{n ^{2} D ^{2}}$ が模型と等しい状態。 $n$ は回転速度）で、全揚程 $H_{p} = 45 m$ を出すように回転速度を選んで運転する。

寸法の違いによる効率の変化（寸法効果）は、ムーディの式
$\frac{1 - η _{p}}{1 - η _{m}} = (\frac{D _{m}}{D _{p}})^{1/5}$
で補正する。ここで $η_{p}$ は実物の効率である。効率は $η = \frac{ρ g Q H}{P}$ （ $P$ は軸動力）で定義する。水の密度を $ρ = 1.0 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$ 、重力加速度の大きさを $g = 9.8 m/ s^{2}$ とし、効率の補正以外のレイノルズ数の影響は無視する。

このとき、実物ポンプの軸動力 $P_{p}$ は何 $kW$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

この問題で使うもの

ポンプの相似則（説明と入口の問題）
ポンプ・水車の動力と効率（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

模型と実物で流量係数と揚程係数が等しいことを使い、まず回転速度の比を求め、次に実物の流量を求める。軸動力は水動力を補正後の効率で割って求める。

ヒント 2

$\frac{n _{p}}{n _{m}} = \frac{D _{m}}{D _{p}} \frac{H _{p}}{H _{m}}$ 、 $Q_{p} = Q_{m} \frac{n _{p}}{n _{m}} (\frac{D _{p}}{D _{m}})^{3}$ 、 $1 - η_{p} = (1 - η_{m}) (\frac{D _{m}}{D _{p}})^{1/5}$ を使う。

ヒント 3

$\frac{n _{p}}{n _{m}} = 0.375$ 、 $Q_{p} = 1.2 m^{3} /s$ 、 $η_{p} \approx 0.848$ となる。あとは $P_{p} = \frac{ρ g Q _{p} H _{p}}{η _{p}}$ を計算する。

答えと解説

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解説を読む

1. 相似則（回転速度の比）

揚程係数が等しいので
$\frac{g H _{p}}{n _{p}^{2} D _{p}^{2}} = \frac{g H _{m}}{n _{m}^{2} D _{m}^{2}} ⟹ (\frac{n _{p}}{n _{m}})^{2} = \frac{H _{p}}{H _{m}} (\frac{D _{m}}{D _{p}})^{2} = \frac{45}{20} \times \frac{1}{16} = 0.140625$
よって $\frac{n _{p}}{n _{m}} = 0.375$ である。

2. 実物の流量

流量係数が等しいので
$Q_{p} = Q_{m} \frac{n _{p}}{n _{m}} (\frac{D _{p}}{D _{m}})^{3} = 0.050 \times 0.375 \times 4^{3} = 0.050 \times 24 = 1.2 m^{3} /s$

3. 寸法効果による効率の補正

ムーディの式より
$1 - η_{p} = (1 - 0.80) (\frac{0.20}{0.80})^{1/5} = 0.20 \times 4^{- 1/5}$
$4^{1/5} = e^{(l o g 4) /5} = e^{0.27726} \approx 1.3195$ なので $4^{- 1/5} \approx 0.75786$ 。したがって
$1 - η_{p} \approx 0.15157, η_{p} \approx 0.84843$
大きいポンプほど、すきま漏れや摩擦の相対的な損失が小さくなるので、効率は模型より高くなる。

4. 軸動力

水動力（ポンプが水に与える動力）は
$ρ g Q_{p} H_{p} = 1.0 \times 1 0^{3} \times 9.8 \times 1.2 \times 45 = 5.292 \times 1 0^{5} W$
効率の定義より
$P_{p} = \frac{ρ g Q _{p} H _{p}}{η _{p}} = \frac{5.292 \times 1 0 ^{5}}{0.84843} \approx 6.237 \times 1 0^{5} W$
よって $P_{p} \approx 624 kW$ 。

（参考：効率を補正せず模型の $η_{m} = 0.80$ を使うと $661.5 kW$ となり、寸法効果の補正で約 $6%$ 小さく見積もられる。）

別解

力学的相似から、揚程係数が等しいので $\frac{g H _{p}}{n _{p}^{2} D _{p}^{2}} = \frac{g H _{m}}{n _{m}^{2} D _{m}^{2}}$ 。よって $\frac{n _{p}}{n _{m}} = \frac{H _{p}}{H _{m}} \frac{D _{m}}{D _{p}} = 2.25 \times 0.25 = 0.375$ 。
流量係数が等しいので $\frac{Q _{p}}{Q _{m}} = \frac{n _{p}}{n _{m}} (\frac{D _{p}}{D _{m}})^{3} = 0.375 \times 64 = 24$ 。したがって $Q_{p} = 24 \times 0.050 = 1.2 m^{3} /s$ 。
効率はムーディの式より $1 - η_{p} = (1 - 0.80) \times (0.25)^{1/5} = 0.20 \times 2^{- 0.4} = 0.20 \times 0.75786 = 0.15157$ 。よって $η_{p} = 0.84843$ 。
水動力は $ρ g Q_{p} H_{p} = 1.0 \times 1 0^{3} \times 9.8 \times 1.2 \times 45 = 5.292 \times 1 0^{5} W = 529.2 kW$ 。
軸動力は $P_{p} = 529.2/0.84843 = 623.7 kW \approx 624 kW$ 。
検算： $0.84843 \times 623.7 = 529.2$ で一致する。

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