流体工学の問題

大型の遠心ポンプ（実物）を設計するため、実物と幾何学的に相似な羽根車外径 $D_m=0.20\mathrm{m}$ の模型ポンプで水を用いて性能試験を行った。模型を回転数 $n_m=1800\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$ で運転したとき、最高効率点で体積流量 $Q_m=0.050{\mathrm{m}}^3/s$、全揚程 $H_m=20\mathrm{m}$、ポンプ効率 ${\eta }_m=0.80$ が得られた。

実物の羽根車外径は $D_p=0.80\mathrm{m}$ で、実物も水を送り、模型の最高効率点と力学的に相似な運転状態（流量係数 $Q/(n{D}^3)$ と揚程係数 $gH/(n^2{D}^2)$ が模型と等しい状態）で全揚程 $H_p=45\mathrm{m}$ を出すように回転数を選ぶ。寸法効果による効率の違いは、ムーディの式
$$\frac{1-{\eta }_p}{1-{\eta }_m}={\left(\frac{D_m}{D_p}\right)}^{1/5}$$
で補正して実物の効率 ${\eta }_p$ を見積もるものとする。水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。このとき、実物ポンプの軸動力は何 $\mathrm{kW}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

大型の遠心ポンプ（実物）の性能を予測するため、実物と幾何学的に相似な模型ポンプを水で試験した。模型の羽根車の外径は $D_m=0.20\mathrm{m}$ である。最高効率点では、体積流量 $Q_m=0.050{\mathrm{m}}^3/s$、全揚程 $H_m=20\mathrm{m}$、効率 ${\eta }_m=0.80$ であった。

実物の羽根車の外径は $D_p=0.80\mathrm{m}$ で、同じく水を送る。実物は、模型の最高効率点と力学的に相似な運転状態（無次元の流量係数 $\frac{Q}{n{D}^3}$ と揚程係数 $\frac{gH}{n^2{D}^2}$ が模型と等しい状態。$n$ は回転速度）で、全揚程 $H_p=45\mathrm{m}$ を出すように回転速度を選んで運転する。

寸法の違いによる効率の変化（寸法効果）は、ムーディの式
$$\frac{1-{\eta }_p}{1-{\eta }_m}={\left(\frac{D_m}{D_p}\right)}^{1/5}$$
で補正する。ここで ${\eta }_p$ は実物の効率である。効率は $\eta =\frac{\rho gQH}{P}$（$P$ は軸動力）で定義する。水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、効率の補正以外のレイノルズ数の影響は無視する。

このとき、実物ポンプの軸動力 $P_p$ は何 $\mathrm{kW}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

羽根車の直径 $D_m=0.20\mathrm{m}$ の模型ポンプを回転数 $n_m=2400\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$ で運転したところ、流量 $Q_m=0.020{\mathrm{m}}^3/s$、全揚程 $H_m=8.0\mathrm{m}$ であった。この模型と幾何学的に相似で、羽根車の直径が $D_p=0.60\mathrm{m}$ の実物ポンプを回転数 $n_p=1200\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$ で、模型と相似な運転状態（流量係数 $\frac{Q}{n{D}^3}$ と揚程係数 $\frac{gH}{n^2{D}^2}$ がそれぞれ模型と等しい状態）で運転する。重力加速度 $g$ は模型と実物で等しいとする。

実物ポンプの流量 $Q_p[{\mathrm{m}}^3/s]$ と全揚程 $H_p[\mathrm{m}]$ を、組 $(Q_p,H_p)$ の形でこの順に求めよ。

全長 $L_p=125\mathrm{m}$、浸水表面積 $S_p=2500{\mathrm{m}}^2$ の船（実船）が、海水中を速さ $V_p=10m/s$ で航行するときの全抵抗を、縮尺 $\frac{1}{25}$ の幾何学的に相似な模型船を用いた曳航水槽試験から推定する。

- 模型試験は、フルード数を実船と一致させる条件（フルード相似）で淡水中で行う。重力加速度は模型と実船で等しいとする。
- 淡水の密度は ${\rho }_m=1.000\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、動粘性係数は ${\nu }_m=1.00\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$、海水の密度は ${\rho }_p=1.025\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、動粘性係数は ${\nu }_p=1.25\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ とする。
- この条件で測定した模型船の全抵抗は $R_m=40.0\mathrm{N}$ であった。
- 全抵抗係数 $C_t=\frac{R}{\frac{1}{2}\rho V^{2}S}$（$R$ は全抵抗、$S$ は浸水表面積）は、摩擦抵抗係数 $C_f$ と剰余抵抗係数 $C_r$ の和 $C_t=C_f+C_r$ で表されるとする（フルードの仮定）。$C_f$ は船の全長 $L$ を代表長さとするレイノルズ数 $Re=\frac{VL}{\nu }$ を用いて
$$C_f=\frac{0.075}{({\log }_{10}Re-2{)}^2}$$
で与えられ、$C_r$ はフルード数だけで決まる（模型と実船で等しい）とする。形状影響係数や粗さ修正などは考えない。

このとき、実船の全抵抗 $R_p$ は何 N か。有効数字 2 桁で求めよ。

空気中を速さ $V_p=25m/s$ で走る自動車（実物）の空気抵抗を調べるため、実物と幾何学的に相似な縮尺 $\frac{1}{4}$ の模型をつくり、回流水槽の水の流れの中に固定して抗力を測定する。模型実験は実物とレイノルズ数が等しくなる流速で行い、そのとき模型にはたらく抗力の測定値は $F_m=830\mathrm{N}$ であった。

空気の密度を $1.2kg/{\mathrm{m}}^3$、動粘性係数を $1.5\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2/s$、水の密度を $1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、動粘性係数を $1.0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ とする。流れは非圧縮性とみなし、抗力係数はレイノルズ数だけで決まる（路面の影響・圧縮性・自由表面の影響は無視できる）ものとする。

実物の自動車が速さ $V_p$ で走るとき、空気抵抗に逆らって走るのに必要な仕事率は何 $\mathrm{kW}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。