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流体工学の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理流体工学

大型の遠心ポンプ（実物）を設計するため、実物と幾何学的に相似な羽根車外径 $D_{m} = 0.20 m$ の模型ポンプで水を用いて性能試験を行った。模型を回転数 $n_{m} = 1800 mi n^{- 1}$ で運転したとき、最高効率点で体積流量 $Q_{m} = 0.050 m^{3} /s$ 、全揚程 $H_{m} = 20 m$ 、ポンプ効率 $η_{m} = 0.80$ が得られた。

実物の羽根車外径は $D_{p} = 0.80 m$ で、実物も水を送り、模型の最高効率点と力学的に相似な運転状態（流量係数 $Q / (n D^{3})$ と揚程係数 $g H / (n^{2} D^{2})$ が模型と等しい状態）で全揚程 $H_{p} = 45 m$ を出すように回転数を選ぶ。寸法効果による効率の違いは、ムーディの式
$\frac{1 - η _{p}}{1 - η _{m}} = (\frac{D _{m}}{D _{p}})^{1/5}$
で補正して実物の効率 $η_{p}$ を見積もるものとする。水の密度を $ρ = 1.0 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$ 、重力加速度の大きさを $g = 9.8 m/ s^{2}$ とする。このとき、実物ポンプの軸動力は何 $kW$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

この問題で使うもの

ポンプの相似則（説明と入口の問題）
ポンプ・水車の動力と効率（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

相似な運転状態では流量係数と揚程係数が模型と実物で等しい。まず揚程係数から実物の回転数を、次に流量係数から実物の流量を求め、最後にムーディの式で効率を補正して軸動力を出そう。

ヒント 2

$n_{p} = n_{m} \frac{D _{m}}{D _{p}} \frac{H _{p}}{H _{m}}$ 、 $Q_{p} = Q_{m} \frac{n _{p}}{n _{m}} (\frac{D _{p}}{D _{m}})^{3}$ 、軸動力は $P_{s} = \frac{ρ g Q _{p} H _{p}}{η _{p}}$ である。

ヒント 3

$n_{p} = 675 mi n^{- 1}$ 、 $Q_{p} = 1.2 m^{3} /s$ 、 $η_{p} = 1 - 0.20 \times 0.2 5^{1/5} \approx 0.848$ となる。あとは水動力 $ρ g Q_{p} H_{p}$ を $η_{p}$ で割る。

答えと解説

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6.24 \times 1 0^{2}

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解説を読む

模型と実物は幾何学的に相似で、流量係数と揚程係数が等しい（力学的に相似な）状態で運転するので、次の相似則が使える。
$\frac{Q _{p}}{n _{p} D _{p}^{3}} = \frac{Q _{m}}{n _{m} D _{m}^{3}}, \frac{g H _{p}}{n _{p}^{2} D _{p}^{2}} = \frac{g H _{m}}{n _{m}^{2} D _{m}^{2}}$

実物の回転数 揚程係数の式より
$n_{p} = n_{m} \frac{D _{m}}{D _{p}} \frac{H _{p}}{H _{m}} = 1800 \times \frac{0.20}{0.80} \times \frac{45}{20} = 1800 \times 0.25 \times 1.5 = 675 mi n^{- 1}$

実物の流量 流量係数の式より
$Q_{p} = Q_{m} \frac{n _{p}}{n _{m}} (\frac{D _{p}}{D _{m}})^{3} = 0.050 \times \frac{675}{1800} \times 4^{3} = 0.050 \times 0.375 \times 64 = 1.2 m^{3} /s$

実物の効率 模型は寸法が小さくレイノルズ数も小さいため相対的な損失が大きい。この寸法効果をムーディの式で補正すると
$1 - η_{p} = (1 - η_{m}) (\frac{D _{m}}{D _{p}})^{1/5} = 0.20 \times 0.2 5^{1/5}$
$0.2 5^{1/5} = e^{\frac{1}{5} l o g 0.25} = e^{- 0.27726} \approx 0.75786$ なので
$1 - η_{p} \approx 0.20 \times 0.75786 = 0.15157, η_{p} \approx 0.84843$

軸動力 水が単位時間に受け取るエネルギー（水動力）は
$P_{w} = ρ g Q_{p} H_{p} = 1.0 \times 1 0^{3} \times 9.8 \times 1.2 \times 45 = 5.292 \times 1 0^{5} W$
ポンプ効率は（水動力）/（軸動力）なので
$P_{s} = \frac{P _{w}}{η _{p}} = \frac{5.292 \times 1 0 ^{5}}{0.84843} \approx 6.237 \times 1 0^{5} W$
したがって軸動力は約 $624 kW$ 、有効数字 3 桁で $6.24 \times 1 0^{2} kW$ である。

別解

揚程係数が等しいので $\frac{g H _{p}}{n _{p}^{2} D _{p}^{2}} = \frac{g H _{m}}{n _{m}^{2} D _{m}^{2}}$ より $n_{p} = n_{m} \frac{D _{m}}{D _{p}} \frac{H _{p}}{H _{m}} = 1800 \times \frac{0.20}{0.80} \times \frac{45}{20} = 1800 \times 0.25 \times 1.5 = 675 mi n^{- 1}$ 。流量係数が等しいので $Q_{p} = Q_{m} \frac{n _{p}}{n _{m}} (\frac{D _{p}}{D _{m}})^{3} = 0.050 \times \frac{675}{1800} \times 4^{3} = 0.050 \times 0.375 \times 64 = 1.2 m^{3} /s$ 。効率はムーディの式より $1 - η_{p} = (1 - 0.80) \times (0.25)^{1/5} = 0.20 \times 0.7579 = 0.15157$ 、よって $η_{p} \approx 0.8484$ 。水動力は $ρ g Q_{p} H_{p} = 1.0 \times 1 0^{3} \times 9.8 \times 1.2 \times 45 = 5.292 \times 1 0^{5} W$ 。軸動力は $P = \frac{ρ g Q _{p} H _{p}}{η _{p}} = \frac{529.2}{0.8484} \approx 623.7 kW$ 。有効数字 3 桁で $624 kW$ 。検算: $0.8484 \times 623.7 = 529.1$ で水動力 $529.2$ とほぼ一致する。

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