ポンプの相似則

流量係数 $\frac{Q}{n D ^{3}}$ ・揚程係数 $\frac{g H}{n ^{2} D ^{2}}$ が模型と実物で等しいことから、実物の寸法比・回転数・流量・揚程を求め、効率を与えて実物の軸動力を求められる

前提

相似則と模型実験（大学物理流体工学）
ポンプ・水車の動力と効率（大学物理流体工学）

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算数中学高校大学大学院

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説明

大きなポンプを作る前に、形を相似に縮めた模型ポンプで性能を測っておき、そこから実物の性能を予測する方法を学びます。羽根車の直径 $D$ と回転数 $n$ を使った無次元数、流量係数 $\frac{Q}{n D ^{3}}$ と揚程係数 $\frac{g H}{n ^{2} D ^{2}}$ が模型と実物で等しいことを使えば、実物の流量・揚程や、目標の性能を出すのに必要な寸法比・回転数がわかります。さらに効率を与えれば、実物に必要な軸動力も計算できます。

なぜそうしてよいのか

ポンプの中の流れの速さの目安は、羽根車の外周の速さ $π n D$ です（ $n$ は 1 秒あたりの回転数）。幾何学的に相似な 2 つのポンプで、羽根車の速さに対する流れの速さの比が等しい（羽根に対する流れの向きが同じになる）とき、2 つのポンプの流れは相似になり、各部の流速はどちらも $n D$ に比例します。流量は「流速 × 断面積」で、断面積は $D^{2}$ に比例するので、 $Q \propto n D \cdot D^{2} = n D^{3}$ です。したがって $\frac{Q}{n D ^{3}}$ は模型と実物で等しくなります。

ポンプが与えるヘッドは、速度ヘッド $\frac{v ^{2}}{2 g}$ と同じく流速の 2 乗に比例する大きさで、 $g H \propto (n D)^{2}$ です。よって $\frac{g H}{n ^{2} D ^{2}}$ も模型と実物で等しくなります。これらは前提の技能の「無次元の力係数が等しい」と同じ考え方で、次元解析でも確かめられます（ $Q$ [m $^{3}$ /s] を $n$ [1/s] と $D^{3}$ [m $^{3}$ ] で割れば無次元、 $g H$ [m $^{2}$ /s $^{2}$ ] を $n^{2} D^{2}$ [m $^{2}$ /s $^{2}$ ] で割れば無次元）。厳密にはレイノルズ数も一致させる必要がありますが、ポンプではレイノルズ数が十分大きく、その影響は小さいとして無視するのがふつうです。

比をとると $\frac{Q _{p}}{Q _{m}} = \frac{n _{p}}{n _{m}} (\frac{D _{p}}{D _{m}})^{3}$ 、 $\frac{H _{p}}{H _{m}} = (\frac{n _{p}}{n _{m}})^{2} (\frac{D _{p}}{D _{m}})^{2}$ （添字 $m$ は模型、 $p$ は実物）となり、比だけを使うので回転数は 1 分あたり（rpm）のままでもかまいません。実物の軸動力は、得られた $Q_{p}$ , $H_{p}$ と与えられた効率 $η$ から $\frac{ρ g Q _{p} H _{p}}{η}$ で求めます。

手順

模型（添字 $m$ ）と実物（添字 $p$ ）の直径・回転数・流量・揚程を書き出し、寸法比 $\frac{D _{p}}{D _{m}}$ と回転数比 $\frac{n _{p}}{n _{m}}$ を求める
流量係数を等しくおく： $\frac{Q _{m}}{n _{m} D _{m}^{3}} = \frac{Q _{p}}{n _{p} D _{p}^{3}}$ より $Q_{p} = Q_{m} \frac{n _{p}}{n _{m}} (\frac{D _{p}}{D _{m}})^{3}$
揚程係数を等しくおく： $\frac{g H _{m}}{n _{m}^{2} D _{m}^{2}} = \frac{g H _{p}}{n _{p}^{2} D _{p}^{2}}$ より $H_{p} = H_{m} (\frac{n _{p}}{n _{m}})^{2} (\frac{D _{p}}{D _{m}})^{2}$
未知数が寸法比や回転数のときは、上の 2 式を連立してそれについて解く
軸動力を問われたら $P = \frac{ρ g Q _{p} H _{p}}{η}$ を計算する

例題

羽根車の直径 $D_{m} = 0.2 m$ の模型ポンプを毎分 $1800$ 回転で運転したところ、揚程 $H_{m} = 20 m$ が得られた。この模型と幾何学的に相似で、羽根車の直径が $D_{p} = 0.6 m$ の実物ポンプを毎分 $900$ 回転で、模型と相似な状態（流量係数・揚程係数が模型と等しい状態）で運転する。重力加速度の大きさは模型と実物で等しいとする。実物ポンプの揚程 $H_{p}$ [m] を求めよ。

例題の解答

【手順 1】寸法比 $\frac{D _{p}}{D _{m}} = \frac{0.6}{0.2} = 3$ 、回転数比 $\frac{n _{p}}{n _{m}} = \frac{900}{1800} = \frac{1}{2}$ （比なので毎分の回転数のままでよい）。

【手順 3】揚程係数が等しいので $H_{p} = H_{m} (\frac{n _{p}}{n _{m}})^{2} (\frac{D _{p}}{D _{m}})^{2} = 20 \times (\frac{1}{2})^{2} \times 3^{2} = 20 \times \frac{1}{4} \times 9 = 45 m$ 。

（手順 2・4・5 はこの問題では使わない。）

答え: $45$

よくある誤り

流量を寸法比の 2 乗で換算してしまう誤り（断面積だけを考え、流速も $D$ に比例することを忘れている）。正しくは $Q \propto n D^{3}$ なので $\frac{Q _{p}}{Q _{m}} = \frac{n _{p}}{n _{m}} (\frac{D _{p}}{D _{m}})^{3}$ （例： $D$ が 3 倍、 $n$ が $\frac{1}{2}$ 倍なら $\frac{1}{2} \times 27 = 13.5$ 倍）。
揚程を回転数・寸法の 1 乗に比例させてしまう誤り。ヘッドは流速の 2 乗に比例するので、正しくは $\frac{H _{p}}{H _{m}} = (\frac{n _{p}}{n _{m}})^{2} (\frac{D _{p}}{D _{m}})^{2}$ 。
回転数比の分子・分母や寸法比を逆にしてしまう誤り。実物の量を求めるときは「実物 ÷ 模型」の比を模型の値に掛ける： $H_{p} = H_{m} \times (\frac{n _{p}}{n _{m}})^{2} (\frac{D _{p}}{D _{m}})^{2}$ 。
実物の軸動力を求めるとき、効率で割らずに水動力 $ρ g Q_{p} H_{p}$ をそのまま答えてしまう、または効率を掛けてしまう誤り。正しくは $P = \frac{ρ g Q _{p} H _{p}}{η}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
羽根車の直径 $D_{m} = 0.20 m$ の模型ポンプを回転数 $n_{m} = 2400 mi n^{- 1}$ で運転したところ、流量 $Q_{m} = 0.020 m^{3} /s$ 、全揚程 $H_{m} = 8.0 m$ であった。この模型と幾何学的に相似で、羽根車の直径が $D_{p} = 0.60 m$ の実物ポンプを回転数 $n_{p} = 1200 mi n^{- 1}$ で、模型と相似な運転状態（流量係数 $\frac{Q}{n D ^{3}}$ と揚程係数 $\frac{g H}{n ^{2} D ^{2}}$ がそれぞれ模型と等しい状態）で運転する。重力加速度 $g$ は模型と実物で等しいとする。
実物ポンプの流量 $Q_{p} [m^{3} /s]$ と全揚程 $H_{p} [m]$ を、組 $(Q_{p}, H_{p})$ の形でこの順に求めよ。

ポンプの相似則

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題