相似則と模型実験

幾何学的相似のもとでレイノルズ数またはフルード数 $F r = \frac{V}{g L}$ を一致させる条件から模型の速度を決め、無次元の力係数 $\frac{R}{ρ V ^{2} L ^{2}}$ が等しいことを使って模型の測定値から実物の抵抗などを求められる

前提

レイノルズ数と層流・乱流の判定（大学物理流体工学）
スケーリング則（相似則）（大学数学数理モデル）

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算数中学高校大学大学院

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スケーリング則（相似則）（大学数学数理モデル）

説明

船・飛行機・建物などの実物で流体の力を直接測るのは難しいので、形をそっくり縮小した模型で実験し、その結果から実物の値を予測します。正しく予測するには、模型の流れが実物の流れと「相似」になるように、レイノルズ数 $R e = \frac{V L}{ν}$ またはフルード数 $F r = \frac{V}{g L}$ を一致させて模型の速度を決めます。そのうえで、無次元の力係数 $\frac{R}{ρ V ^{2} L ^{2}}$ が模型と実物で等しいことを使えば、模型で測った抵抗から実物の抵抗を求められます。

なぜそうしてよいのか

次元解析で力の形を決める: 物体が流体から受ける抵抗 $R$ が、流体の密度 $ρ$ 、速さ $V$ 、物体の代表長さ $L$ 、動粘性係数 $ν$ 、重力加速度 $g$ で決まるとします。次元解析によると、 $R$ は
$\frac{R}{ρ V ^{2} L ^{2}} = f (\frac{V L}{ν}, \frac{V}{g L}) = f (R e, F r)$
の形に書けます。 $ρ V^{2} L^{2}$ は力の次元をもつ組み合わせ（ $kg/ m^{3} \cdot m^{2} / s^{2} \cdot m^{2} = kg \cdot m/ s^{2}$ ）で、 $R e$ と $F r$ は単位をもたない数です。関数 $f$ の中身は分からなくても、形が相似（各部の寸法の比が等しい）で $R e$ と $F r$ が等しければ、 $f$ の値、つまり力係数 $\frac{R}{ρ V ^{2} L ^{2}}$ は模型と実物で同じになります。これがスケーリング則（相似則）の考え方を流れに使ったものです。

どちらの数をそろえるか: レイノルズ数は慣性と粘性の効果の比、フルード数は慣性と重力の効果の比（ $F r^{2} = \frac{V ^{2}}{g L}$ ）です。水面に波をつくる船の造波抵抗のように重力が主役の現象ではフルード数を、管の流れや水中・空気中を進む物体のように粘性が主役の現象ではレイノルズ数をそろえます。同じ流体・同じ $g$ では、 $R e$ 一致には $V \propto \frac{1}{L}$ 、 $F r$ 一致には $V \propto L$ が必要で、両方は同時に満たせないので、主な効果に合わせて一方を選びます。

模型の速度: フルード数一致なら $\frac{V _{m}}{g L _{m}} = \frac{V _{p}}{g L _{p}}$ より $V_{m} = V_{p} \frac{L _{m}}{L _{p}}$ 。レイノルズ数一致なら $\frac{V _{m} L _{m}}{ν _{m}} = \frac{V _{p} L _{p}}{ν _{p}}$ より $V_{m} = V_{p} \frac{L _{p}}{L _{m}} \frac{ν _{m}}{ν _{p}}$ です（添字 $m$ は模型、 $p$ は実物）。

手順

模型と実物の長さの比（縮尺） $\frac{L _{m}}{L _{p}}$ と、流体の性質（ $ρ$ 、 $ν$ ）を確認する
現象で主役になる効果を見て、そろえる無次元数を選ぶ: 重力（水面の波）ならフルード数 $F r = \frac{V}{g L}$ 、粘性ならレイノルズ数 $R e = \frac{V L}{ν}$
選んだ数を等しいとおいて模型の速度を求める: $F r$ なら $V_{m} = V_{p} \frac{L _{m}}{L _{p}}$ 、 $R e$ なら $V_{m} = V_{p} \frac{L _{p}}{L _{m}} \frac{ν _{m}}{ν _{p}}$
力を求めるときは、力係数が等しいこと $\frac{R _{m}}{ρ _{m} V _{m}^{2} L _{m}^{2}} = \frac{R _{p}}{ρ _{p} V _{p}^{2} L _{p}^{2}}$ を使い、 $R_{p} = R_{m} \frac{ρ _{p}}{ρ _{m}} (\frac{V _{p}}{V _{m}})^{2} (\frac{L _{p}}{L _{m}})^{2}$ とする

例題

長さ $100 m$ の船が速さ $10 m/s$ で進むときの造波抵抗を調べるため、形が幾何学的に相似な長さ $4 m$ の模型を水槽で曳航する。造波抵抗は重力による波で決まるとして、フルード数を一致させる。重力加速度は模型と実物で等しいとする。模型を曳航する速さは何 $m/s$ か。正確な値で求めよ。

例題の解答

手順 1（縮尺）: $\frac{L _{m}}{L _{p}} = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$ 。

手順 2（そろえる数）: 水面の波（重力）が主役なのでフルード数をそろえる。

手順 3（模型の速度）: $\frac{V _{m}}{g L _{m}} = \frac{V _{p}}{g L _{p}}$ より
$V_{m} = V_{p} \frac{L _{m}}{L _{p}} = 10 \times \frac{1}{25} = 10 \times \frac{1}{5} = 2 m/s .$

手順 4（参考）: このとき、同じ水を使えば力係数一致から $R_{p} = R_{m} (\frac{V _{p}}{V _{m}})^{2} (\frac{L _{p}}{L _{m}})^{2} = R_{m} \times 25 \times 625 = R_{m} \times 2 5^{3}$ となり、模型の抵抗を $2 5^{3} = 15625$ 倍すれば実物の（造波）抵抗が予測できる。

答え: $2$

よくある誤り

模型の速度も長さと同じ比で縮めて $V_{m} = V_{p} \frac{L _{m}}{L _{p}} = 0.4 m/s$ としてしまう誤り。フルード数一致では速度は長さの平方根に比例し、正しくは $V_{m} = V_{p} \frac{L _{m}}{L _{p}}$
レイノルズ数一致で、模型を小さくすると速度も小さくするとしてしまう誤り。同じ流体なら $V_{m} L_{m} = V_{p} L_{p}$ なので、正しくは $V_{m} = V_{p} \frac{L _{p}}{L _{m}}$ と、模型の方が速くなる（1/10 模型なら 10 倍）
抵抗が速度の 2 乗だけに比例するとして $R_{p} = R_{m} (\frac{V _{p}}{V _{m}})^{2}$ としてしまう誤り。力係数 $\frac{R}{ρ V ^{2} L ^{2}}$ が等しいので、正しくは長さの 2 乗の比も掛けて $R_{p} = R_{m} \frac{ρ _{p}}{ρ _{m}} (\frac{V _{p}}{V _{m}})^{2} (\frac{L _{p}}{L _{m}})^{2}$
同じ流体でレイノルズ数とフルード数を同時に一致させられるとしてしまう誤り。 $R e$ 一致には $V \propto \frac{1}{L}$ 、 $F r$ 一致には $V \propto L$ が必要で、縮尺が 1 でなければ両立しない。主な効果に合わせてどちらか一方を選ぶ

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
全長 $L_{p} = 2.0 m$ の水中ロボット（実物）が、海中を速さ $V_{p} = 1.5 m/s$ で進むときに受ける抵抗 $R_{p}$ を調べたい。そこで、実物と幾何学的に相似な全長 $L_{m} = 0.50 m$ の模型をつくり、実物と同じ海水（密度・動粘性係数が実物のときと等しい）を流した水槽の中に固定して、抵抗を測定する。
水面から十分深いところでの実験なので、抵抗は粘性の影響だけで決まるとし、模型と実物のレイノルズ数 $R e = \frac{V L}{ν}$ を一致させて実験を行う。このとき模型が受けた抵抗は $R_{m} = 90 N$ であった。模型と実物で無次元の抵抗係数 $\frac{R}{ρ V ^{2} L ^{2}}$ が等しいとして、実物の抵抗 $R_{p}$ は何 $N$ か。整数で答えよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ポンプの相似則（大学物理流体工学）
バッキンガムの π 定理と無次元数（大学物理流体力学・連続体）