流体力学・連続体の問題

水面をもつ流れの中に置かれた物体が受ける抵抗 $R$ は、物体の代表長さ $L$、流れの速さ $V$、流体の密度 $\rho$、動粘性率 $\nu$、重力加速度の大きさ $g$ だけで決まるとする。バッキンガムの $\Pi$ 定理を使うと、この関係は
$$\frac{R}{\rho V^2{L}^2}=f\left(\frac{VL}{\nu },\frac{V}{\sqrt{gL}}\right)$$
のように、3 つの無次元数の関係に書き直せる。

実物と幾何学的に相似で、長さが実物の $\frac{1}{4}$ の模型を作り、重力加速度 $g$ が同じ地上で実験する。レイノルズ数 $\frac{VL}{\nu }$ とフルード数 $\frac{V}{\sqrt{gL}}$ の両方を実物と一致させるには、模型実験に使う流体の動粘性率 ${\nu }_m$ を実物の流体の動粘性率 ${\nu }_p$ の何倍にすればよいか。比 $\frac{{\nu }_m}{{\nu }_p}$ を既約分数で求めよ。

十分に広い容器に、密度 $\rho$ の水を入れ、その上に密度 $\frac{3}{4}\rho$ の油を厚さ $\frac{h}{3}$ の層になるよう静かに注いだ。油と水は混ざらず、油の上は大気である。

この容器に、密度 $\frac{1}{2}\rho$ の均質な固体でできた半径 $a$、高さ $h$ の直円柱を、中心軸を鉛直にして浮かべた。円柱は静止しており、その上面は油面より上に、底面は油と水の境界面より下にある。

この円柱を、中心軸が鉛直な姿勢から微小な角度だけ傾けたときを考える。$a>a_{\mathrm{c}}$ のときは元の姿勢に戻る向きの力のモーメントがはたらき（安定）、$a<a_{\mathrm{c}}$ のときは傾きを大きくする向きの力のモーメントがはたらく（不安定）。この臨界半径 $a_{\mathrm{c}}$ を $h$ を用いて表せ。

ただし、流体はすべて静止しているとみなす。大気の密度と大気圧の水平方向の変化は無視し、重力加速度の大きさを $g$ とする。容器は十分に広く、円柱が傾いても油面と境界面の高さは変わらないとする。

水平で十分に広い平らな床の上に、密度 $\rho$、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体を、体積 $V$ だけ時刻 $t=0$ に 1 点のまわりに一度に置いた。流体は重力によって軸対称に広がり、十分に時間がたつと、厚さが広がりの半径に比べてずっと薄い層になる。重力加速度の大きさを $g$ とし、慣性・表面張力・周囲の空気の影響は無視する。

このとき、中心からの距離 $r$、時刻 $t$ における層の厚さ $h(r,t)$ は、潤滑近似により
$$\frac{\partial h}{\partial t}=\kappa \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r{h}^3\frac{\partial h}{\partial r}\right),\kappa =\frac{\rho g}{3\mu }$$
にしたがい、体積は
$$2\pi {\int }_0^{R(t)}rh(r,t)dr=V$$
で一定に保たれる。ここで $R(t)$ は層の先端の半径である。十分に時間がたった後の $R(t)$ は、初期の置き方の詳細によらず $\kappa ,V,t$ だけで決まるものとする。

上の 2 式では、水平方向の長さ（$r,R$）と鉛直方向の長さ（$h$）がそれぞれ別々の組み合わせで現れるので、両者を互いに独立な次元として扱ってよい。このことを用いて次元解析を行い、$R(t)\propto t^n$ と表したときの指数 $n$ を求めよ。

頂点を真下に向けて鉛直に置いた円錐形の容器（半頂角 $\alpha$、$0<\alpha <\frac{\pi }{2}$）に水が入っている。容器の頂点には断面積 $a$ の小さな穴があり、時刻 $t=0$ にこの穴を開くと、水は穴から真下に流れ出る。$t=0$ での水面の高さ（穴から水面までの鉛直距離）は $H$ である。

水は非圧縮・非粘性の完全流体とし、穴から流れ出る水の断面積は $a$ に等しいとする（縮流は無視する）。水面と穴の出口にはともに同じ大気圧がはたらき、重力加速度の大きさを $g$ とする。$a$ は水面の面積に比べて十分小さく、水面が穴に近づいた最後の短い時間を除いて流れは各瞬間で定常流とみなせる（準定常近似）ものとし、水面の降下速度による運動エネルギーは穴から出る水の運動エネルギーに比べて無視する。

穴を開いてから容器が空になるまでの時間 $T$ を、$H,a,g,\alpha$ を用いて表せ。

ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた、まっすぐな円柱形の棒がある。棒の中心軸を $x$ 軸とする。棒の両端面を、互いに平行な 2 枚の剛体の壁に、すき間なく接触させて置いた。壁は動かず、棒の両端面は壁に沿ってなめらかにすべることができる（端面には $x$ 方向の力だけがはたらく）。最初、棒には応力がない。

この状態で、棒の側面（円柱面）全体に、一様な圧力 $p(p>0)$ を加えた。端面には壁からの力だけがはたらく。棒の内部の応力とひずみは一様で、変形は微小であるとする。このときの棒の体積の減少率 $-\frac{\Delta V}{V}$ を、$p$, $E$, $\nu$ を用いて表せ（$V$ は変形前の体積、$\Delta V$ は体積の変化）。