流体力学・連続体の問題

半径 $a$ の水平でまっすぐな円管の中を、粘性係数 $\mu$ の非圧縮性のニュートン流体が、管の長さ $L$ あたり一定の圧力差 $\Delta p$ によって定常な層流（ハーゲン・ポアズイユ流）で流れている。管の中心軸からの距離を $r$ とすると、流速の分布は
$$u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu L}\left(a^2-r^2\right)(0\le r\le a)$$
で与えられる。重力の影響はなく、管の入口・出口付近の効果は無視する。

管の断面のうち、中心軸から半径 $\frac{a}{2}$ の円の内側を通る体積流量は、管全体の体積流量の何倍か。既約分数で求めよ。

水面を一定の速さで進む船が受ける抵抗力の大きさ $F$ は、液体の密度 $\rho$、液体の動粘性率 $\nu$（単位 ${\mathrm{m}}^2/s$）、重力加速度の大きさ $g$、船の速さ $U$、船の長さ $L$ だけで決まるとする（船の形は相似なものだけを考える）。

実物の船（長さ $L_{\mathrm{p}}$）の $\frac{1}{16}$ の長さの相似な模型（長さ $L_{\mathrm{m}}=\frac{L_{\mathrm{p}}}{16}$）を作り、同じ重力加速度 $g$ のもとで水槽実験を行う。模型実験では、フルード数 $\frac{U}{\sqrt{gL}}$ とレイノルズ数 $\frac{UL}{\nu }$ の両方を実物と一致させるように、模型の速さと水槽の液体（動粘性率）を選んだ。水槽の液体の密度は、実物の船が進む水の密度の $\frac{4}{5}$ 倍である。

このとき、模型が受ける抵抗力 $F_{\mathrm{m}}$ と実物の船が受ける抵抗力 $F_{\mathrm{p}}$ の比 $\frac{F_{\mathrm{m}}}{F_{\mathrm{p}}}$ を、既約分数で求めよ。

落球式粘度計で液体の粘性率を測定する。半径 $a=1.0\mathrm{mm}$、密度 ${\rho }_{\mathrm{s}}=7.80\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の鋼球を、密度 ${\rho }_{\mathrm{f}}=1.26\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の静止した液体中で静かに落とすと、鋼球はすぐに一定の速さになり、その後 $0.120\mathrm{m}$ の距離を $10.0\mathrm{s}$ で落下した。鋼球が液体から受ける抵抗力はストークスの抵抗則 $F=6\pi \mu av$（$\mu$ は液体の粘性率、$v$ は球の速さ）に従うものとし、容器の壁の影響は無視する。重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

この液体の粘性率 $\mu$ は何 $\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

密度 $\rho$ の静止した流体の中を、半径 $a$ の球が一定の速さ $v$ で動いている。レイノルズ数が十分に大きく、球が流体から受ける抵抗力の大きさ $F$ は流体の粘性率によらず、$\rho$, $v$, $a$ だけで決まって
$$F=C{\rho }^{\alpha }{v}^{\beta }{a}^{\gamma }$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数で、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。

同じ流体の中で、球の半径を $3$ 倍、速さを $2$ 倍にすると、抵抗力の大きさは何倍になるか。ただし、この変更の後もレイノルズ数は十分に大きく、上の関係式（同じ $C$）がそのまま成り立つものとする。

間隔 $h$ で平行に固定された 2 枚の大きな平板の間を、粘性係数 $\mu$ の非圧縮性のニュートン流体が、流れの向き（$x$ 方向）に一定の圧力勾配 $\frac{dp}{dx}=-G$（$G>0$ は定数）によって定常な層流で流れている。下の板の面を $y=0$、上の板の面を $y=h$ とし、流速 $u$ は $y$ だけの関数で、運動方程式
$$\mu \frac{d^{2}u}{d{y}^2}=-G$$
を満たすとする。両方の板の上で流体は滑らないものとし、重力の影響と板の端の効果は無視する。

板の奥行き方向の単位幅あたりの体積流量 $q={\int }_0^{h}udy$ を、$G,h,\mu$ を用いて表せ。