バッキンガムの π 定理と無次元数

現象に関係する物理量の個数と基本次元の数から独立な無次元数の個数を数え、 $Π$ どうしの関係 $Π_{1} = f (Π_{2}, \dots)$ に書き直して、レイノルズ数・フルード数・ウェーバー数などを同時に一致させた模型実験の条件（長さ・速さ・動粘性率の比）や、力・時間の比を求められる

前提

相似則と模型実験（大学物理流体工学）

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算数中学高校大学大学院

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説明

現象にかかわる物理量が $n$ 個あり、それらの次元が $k$ 個の基本次元（質量 $M$ ・長さ $L$ ・時間 $T$ など）で書けるとき、物理法則は $n - k$ 個の独立な無次元数 $Π_{1}, Π_{2}, \dots, Π_{n - k}$ のあいだの関係 $Π_{1} = f (Π_{2}, \dots, Π_{n - k})$ に書き直せます。これがバッキンガムの $π$ 定理です。関係式の形 $f$ がわからなくても、どの無次元数をそろえれば模型と実物が「同じ現象」になるかがわかるので、レイノルズ数・フルード数・ウェーバー数などを同時に一致させる模型実験の条件（長さ・速さ・動粘性率の比）や、測定した力・時間を実物に換算する比を求めるのに使います。

なぜそうしてよいのか

物理法則は、単位の取り方（メートルで測るかセンチメートルで測るか、など）を変えても成り立たなければなりません。そこで、関係する量 $Q_{1}, \dots, Q_{n}$ の中から、基本次元をちょうど全部まかなえる $k$ 個の量（たとえば $ρ, V, L$ ）を「基準量」に選びます。残りの $n - k$ 個の量はそれぞれ、基準量のべき乗の積で割ると次元が消えて無次元数 $Π_{i} = Q_{i} / (ρ^{a} V^{b} L^{c})$ になります。指数 $a, b, c$ は、 $M, L, T$ それぞれの指数がつり合うという連立 1 次方程式を解けば決まります。基準量どうしは次元が独立なので、この連立方程式の解はただ 1 つです。

もとの関係 $F (Q_{1}, \dots, Q_{n}) = 0$ を、基準量 $k$ 個と $Π$ たち $n - k$ 個で書き直します。ここで単位を取り替えると、基準量 $ρ, V, L$ の数値は自由に（独立に）何倍にも変えられますが、 $Π$ たちの数値は無次元なので変わりません。法則がどの単位でも成り立つためには、関係式は基準量の数値によらない、つまり $Π$ だけの関係 $Π_{1} = f (Π_{2}, \dots, Π_{n - k})$ になっているしかありません。こうして変数が $n$ 個から $n - k$ 個に減ります。

このことから模型実験の考え方が出てきます。 $Π_{2}, \dots, Π_{n - k}$ （たとえば $R e$ と $F r$ ）を模型と実物でそろえれば、 $f$ の形を知らなくても $Π_{1}$ （たとえば力係数 $R / (ρ V^{2} L^{2})$ ）も等しくなります。そろえるべき無次元数が 2 つ以上あると、長さの比を決めたときに速さの比だけでは足りず、流体の性質（動粘性率 $ν$ や表面張力 $σ$ ）の比まで決まってしまうことがあります。

手順

現象に関係する物理量をすべて書き出し、その個数 $n$ を数える（求めたい量も含める）
各量の次元を $M^{α} L^{β} T^{γ}$ の形で書き、現れる基本次元の数 $k$ を数える。独立な無次元数の個数は $n - k$ 個
基本次元をすべて含み、互いに次元が独立な $k$ 個の基準量（流体なら $ρ, V, L$ など）を選ぶ
残りの量 $Q$ ごとに $Π = Q ρ^{a} V^{b} L^{c}$ とおき、 $M, L, T$ の指数がそれぞれ $0$ になる連立方程式から $a, b, c$ を決める（例: $μ \to \frac{ρ V L}{μ} = R e$ 、 $g \to \frac{V ^{2}}{g L} = F r^{2}$ 、 $σ \to \frac{ρ V ^{2} L}{σ} = W e$ ）
関係を $Π_{1} = f (Π_{2}, \dots, Π_{n - k})$ と書き、模型と実物で右辺の $Π$ をすべて等しくおいて、長さ・速さ・物性値の比を連立して求める
左辺の $Π_{1}$ も等しくなることを使い、力 $R \propto ρ V^{2} L^{2}$ や時間 $t \propto L / V$ などの比を求めて実物に換算する

例題

水面を進む船の抵抗 $R$ は、流体の密度 $ρ$ 、粘性率 $μ$ 、重力加速度 $g$ 、船の速さ $V$ 、船の長さ $L$ で決まるとする。長さを実物の $\frac{1}{10}$ にした幾何学的に相似な模型で、レイノルズ数 $R e = \frac{V L}{ν}$ （ $ν = μ / ρ$ は動粘性率）とフルード数 $F r = \frac{V}{g L}$ を実物と同時に一致させたい。 $g$ は模型と実物で等しいとする。模型に使う流体の動粘性率 $ν_{m}$ と実物の流体の動粘性率 $ν_{p}$ の比 $\frac{ν _{m}}{ν _{p}}$ を、根号を用いた正確な値で求めよ。

例題の解答

手順 1・2: 関係する量は $R, ρ, μ, g, V, L$ の $n = 6$ 個。次元は $R : ML T^{- 2}$ 、 $ρ : M L^{- 3}$ 、 $μ : M L^{- 1} T^{- 1}$ 、 $g : L T^{- 2}$ 、 $V : L T^{- 1}$ 、 $L : L$ で、基本次元は $M, L, T$ の $k = 3$ 個。よって独立な無次元数は $6 - 3 = 3$ 個。

手順 3・4: 基準量を $ρ, V, L$ に選ぶと、残りの $R, μ, g$ から
$Π_{1} = \frac{R}{ρ V ^{2} L ^{2}}, Π_{2} = \frac{ρ V L}{μ} = \frac{V L}{ν} = R e, Π_{3} = \frac{V}{g L} = F r$
が得られる（ $Π_{3}$ は $V^{2} / (g L)$ の平方根をとったもの）。

手順 5: 関係は $\frac{R}{ρ V ^{2} L ^{2}} = f (R e, F r)$ 。添字 $m$ を模型、 $p$ を実物とし、 $\frac{L _{m}}{L _{p}} = \frac{1}{10}$ とする。

フルード数の一致 $\frac{V _{m}}{g L _{m}} = \frac{V _{p}}{g L _{p}}$ から
$\frac{V _{m}}{V _{p}} = \frac{L _{m}}{L _{p}} = \frac{1}{10} .$
レイノルズ数の一致 $\frac{V _{m} L _{m}}{ν _{m}} = \frac{V _{p} L _{p}}{ν _{p}}$ から
$\frac{ν _{m}}{ν _{p}} = \frac{V _{m}}{V _{p}} \cdot \frac{L _{m}}{L _{p}} = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} = (\frac{1}{10})^{3/2} = \frac{10}{100} .$

つまり、模型には実物の流体より動粘性率が約 $0.032$ 倍の流体を使う必要がある（同じ水では両方を同時にそろえられない）。

答え: $\frac{10}{100}$

よくある誤り

無次元数の個数を「量の個数」や「基本次元の数」そのものとしてしまう誤り。正しくは $n - k$ 個で、船の例では $R, ρ, μ, g, V, L$ の 6 個から $M, L, T$ の 3 個を引いて $3$ 個（ $Π_{1} = f (R e, F r)$ ）
フルード数をそろえるときに速さの比を長さの比と同じ $\frac{V _{m}}{V _{p}} = \frac{L _{m}}{L _{p}}$ としてしまう誤り。正しくは $g$ が共通なので $\frac{V _{m}}{V _{p}} = \frac{L _{m}}{L _{p}}$
$R e$ と $F r$ を同時にそろえるのに、模型でも同じ水（ $ν_{m} = ν_{p}$ ）が使えるとしてしまう誤り。正しくは $\frac{ν _{m}}{ν _{p}} = (\frac{L _{m}}{L _{p}})^{3/2}$ が必要で、 $L_{m} \neq = L_{p}$ なら動粘性率の異なる流体を使わなければならない。ウェーバー数 $\frac{ρ V ^{2} L}{σ}$ も加えるなら $\frac{σ _{m} / ρ _{m}}{σ _{p} / ρ _{p}} = (\frac{L _{m}}{L _{p}})^{2}$ も必要になる
基準量に次元が独立でない組（たとえば $V, L$ と $V / L$ ）を選んでしまう誤り。指数の連立方程式が一意に解けなくなる。正しくは $ρ, V, L$ のように $M, L, T$ をすべて含み、どれも他のべき乗の積で表せない $k$ 個を選ぶ

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
水面をもつ流れの中に置かれた物体が受ける抵抗 $R$ は、物体の代表長さ $L$ 、流れの速さ $V$ 、流体の密度 $ρ$ 、動粘性率 $ν$ 、重力加速度の大きさ $g$ だけで決まるとする。バッキンガムの $Π$ 定理を使うと、この関係は
$\frac{R}{ρ V ^{2} L ^{2}} = f (\frac{V L}{ν}, \frac{V}{g L})$
のように、3 つの無次元数の関係に書き直せる。
実物と幾何学的に相似で、長さが実物の $\frac{1}{4}$ の模型を作り、重力加速度 $g$ が同じ地上で実験する。レイノルズ数 $\frac{V L}{ν}$ とフルード数 $\frac{V}{g L}$ の両方を実物と一致させるには、模型実験に使う流体の動粘性率 $ν_{m}$ を実物の流体の動粘性率 $ν_{p}$ の何倍にすればよいか。比 $\frac{ν _{m}}{ν _{p}}$ を既約分数で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 4（大学院入試の標準レベル）
水面を一定の速さで進む船が受ける抵抗力の大きさ $F$ は、液体の密度 $ρ$ 、液体の動粘性率 $ν$ （単位 $m^{2} /s$ ）、重力加速度の大きさ $g$ 、船の速さ $U$ 、船の長さ $L$ だけで決まるとする（船の形は相似なものだけを考える）。
実物の船（長さ $L_{p}$ ）の $\frac{1}{16}$ の長さの相似な模型（長さ $L_{m} = \frac{L _{p}}{16}$ ）を作り、同じ重力加速度 $g$ のもとで水槽実験を行う。模型実験では、フルード数 $\frac{U}{g L}$ とレイノルズ数 $\frac{U L}{ν}$ の両方を実物と一致させるように、模型の速さと水槽の液体（動粘性率）を選んだ。水槽の液体の密度は、実物の船が進む水の密度の $\frac{4}{5}$ 倍である。
このとき、模型が受ける抵抗力 $F_{m}$ と実物の船が受ける抵抗力 $F_{p}$ の比 $\frac{F _{m}}{F _{p}}$ を、既約分数で求めよ。