流体力学・連続体の問題

半径 $a$、長さ $L$ のまっすぐな円管の中を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が、管の両端の圧力差 $\Delta p(>0)$ によって定常に流れている。流れは管軸に平行な層流（ハーゲン・ポアズイユ流）で、管の入口・出口付近の影響と重力は無視でき、管壁では流速が $0$（滑りなし条件）とする。

管軸からの距離が $b(0<b<a)$ 以下の部分（管と同軸の半径 $b$ の円の内側）を通る体積流量が、管全体の体積流量のちょうど半分になるとき、$b$ を $a$ を用いて表せ。

間隔 $h$ で平行に固定された 2 枚の大きな平板の間を、粘性係数 $\mu$ の非圧縮性のニュートン流体が、流れの向き（$x$ 方向）に一定の圧力勾配 $\frac{dp}{dx}=-G$（$G>0$ は定数）によって定常な層流で流れている。下の板の面を $y=0$、上の板の面を $y=h$ とし、流速 $u$ は $y$ だけの関数で、運動方程式
$$\mu \frac{d^{2}u}{d{y}^2}=-G$$
を満たすとする。両方の板の上で流体は滑らないものとし、重力の影響と板の端の効果は無視する。

板の奥行き方向の単位幅あたりの体積流量 $q={\int }_0^{h}udy$ を、$G,h,\mu$ を用いて表せ。

十分に長いまっすぐな円管（半径 $a$）の中を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が定常な層流として流れている。管の単位長さあたりの圧力降下を $G$（単位 $Pa/m$）とする。単位時間に管の断面を通過する流体の体積（体積流量）$Q$ は $G,\mu ,a$ だけで決まり、
$$Q=C{G}^{\alpha }{\mu }^{\beta }{a}^{\gamma }$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数で、管や流体によらない。

いま、ある管と流体の組（状態 A）で流量が $Q_{\mathrm{A}}$ であった。管の半径を $\frac{3}{2}$ 倍にし、流体を粘性率が $3$ 倍の別の流体に取り替え、単位長さあたりの圧力降下 $G$ は同じに保った（状態 B）。状態 B の流量を $Q_{\mathrm{B}}$ とするとき、比 $\frac{Q_{\mathrm{B}}}{Q_{\mathrm{A}}}$ を既約分数で求めよ。

水面をもつ流れの中に置かれた物体が受ける抵抗 $R$ は、物体の代表長さ $L$、流れの速さ $V$、流体の密度 $\rho$、動粘性率 $\nu$、重力加速度の大きさ $g$ だけで決まるとする。バッキンガムの $\Pi$ 定理を使うと、この関係は
$$\frac{R}{\rho V^2{L}^2}=f\left(\frac{VL}{\nu },\frac{V}{\sqrt{gL}}\right)$$
のように、3 つの無次元数の関係に書き直せる。

実物と幾何学的に相似で、長さが実物の $\frac{1}{4}$ の模型を作り、重力加速度 $g$ が同じ地上で実験する。レイノルズ数 $\frac{VL}{\nu }$ とフルード数 $\frac{V}{\sqrt{gL}}$ の両方を実物と一致させるには、模型実験に使う流体の動粘性率 ${\nu }_m$ を実物の流体の動粘性率 ${\nu }_p$ の何倍にすればよいか。比 $\frac{{\nu }_m}{{\nu }_p}$ を既約分数で求めよ。

鉛直な側壁をもつ断面積 $S$ の円筒形の容器の底の中心に、半径 $a$、長さ $L$ のまっすぐな細い円管（毛細管）が鉛直下向きに取り付けられている。容器と円管には、密度 $\rho$、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が満たされている。円管の下端は大気に開いていて、流体はそこから流れ出る。容器の液面と円管の下端の出口での圧力は、どちらも大気圧 $p_0$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とする。

容器の底（円管の上端）から測った液面の高さを $h$ とし、時刻 $t=0$ で $h=h_0(>0)$ であった。次を仮定する。
- 円管の中の流れは、各瞬間において管軸に平行な十分に発達した定常層流（ハーゲン・ポアズイユ流）とみなせる（準定常近似）。円管の入口・出口付近の流れの乱れ、流出する流体の運動エネルギー、出口での表面張力は無視する。
- $S\gg \pi a^2$ であり、容器内の流体の速度は十分に小さく、容器内の圧力は静水圧分布に従う。
- 考える時間の間、円管は常に流体で満たされている。

液面の高さが $h=\frac{h_0}{2}$ になる時刻 $t_1$ を、$S,a,L,\rho ,\mu ,g,h_0$ を用いて表せ。