流体力学・連続体の問題

密度 $\rho$ の静止した流体の中を、半径 $a$ の球が一定の速さ $v$ で動いている。レイノルズ数が十分に大きく、球が流体から受ける抵抗力の大きさ $F$ は流体の粘性率によらず、$\rho$, $v$, $a$ だけで決まって
$$F=C{\rho }^{\alpha }{v}^{\beta }{a}^{\gamma }$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数で、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。

同じ流体の中で、球の半径を $3$ 倍、速さを $2$ 倍にすると、抵抗力の大きさは何倍になるか。ただし、この変更の後もレイノルズ数は十分に大きく、上の関係式（同じ $C$）がそのまま成り立つものとする。

無重力の宇宙船内に浮かぶ球形の液滴は、表面張力を復元力として形がわずかに振動する。この微小振動の振動数 $f$ は、液体の表面張力 $\sigma$（単位 $N/m$）、液体の密度 $\rho$（単位 $kg/{\mathrm{m}}^3$）、液滴の半径 $R$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まり、
$$f=C{\sigma }^{\alpha }{\rho }^{\beta }{R}^{\gamma }$$
の形に書けるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。重力・空気の影響・液体の粘性は無視する。

同じ液体（$\sigma ,\rho$ が同じ）でできた、半径 $R$ の液滴 A と半径 $2R$ の液滴 B が、同じ形の振動（同じ $C$）をしている。液滴 B の振動数は液滴 A の振動数の何倍か。根号を用いた正確な値で求めよ。

一様な静止した空気（密度 $\rho$）の中の 1 点で、エネルギー $E$ が瞬間的に放出されて強い球面衝撃波が広がる。放出から時刻 $t$ における衝撃波面の半径 $R$ は、$E,\rho ,t$ だけで決まり、
$$R=C{E}^{\alpha }{\rho }^{\beta }{t}^{\gamma }$$
の形に書けるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。（空気のはじめの圧力、重力などの影響は無視する。）

次元解析により、指数 $\gamma$ の値を求めよ。

半径 $a$ の水平でまっすぐな円管の中を、粘性係数 $\mu$ の非圧縮性のニュートン流体が、管の長さ $L$ あたり一定の圧力差 $\Delta p$ によって定常な層流（ハーゲン・ポアズイユ流）で流れている。管の中心軸からの距離を $r$ とすると、流速の分布は
$$u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu L}\left(a^2-r^2\right)(0\le r\le a)$$
で与えられる。重力の影響はなく、管の入口・出口付近の効果は無視する。

管の断面のうち、中心軸から半径 $\frac{a}{2}$ の円の内側を通る体積流量は、管全体の体積流量の何倍か。既約分数で求めよ。

鉛直な側壁をもつ断面積 $S$ の円筒形の容器の底の中心に、半径 $a$、長さ $L$ のまっすぐな細い円管（毛細管）が鉛直下向きに取り付けられている。容器と円管には、密度 $\rho$、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が満たされている。円管の下端は大気に開いていて、流体はそこから流れ出る。容器の液面と円管の下端の出口での圧力は、どちらも大気圧 $p_0$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とする。

容器の底（円管の上端）から測った液面の高さを $h$ とし、時刻 $t=0$ で $h=h_0(>0)$ であった。次を仮定する。
- 円管の中の流れは、各瞬間において管軸に平行な十分に発達した定常層流（ハーゲン・ポアズイユ流）とみなせる（準定常近似）。円管の入口・出口付近の流れの乱れ、流出する流体の運動エネルギー、出口での表面張力は無視する。
- $S\gg \pi a^2$ であり、容器内の流体の速度は十分に小さく、容器内の圧力は静水圧分布に従う。
- 考える時間の間、円管は常に流体で満たされている。

液面の高さが $h=\frac{h_0}{2}$ になる時刻 $t_1$ を、$S,a,L,\rho ,\mu ,g,h_0$ を用いて表せ。