流体力学・連続体の問題

一様な密度 $\rho$ の静止した空気中の 1 点で、時刻 $t=0$ に大きさ $E$ のエネルギーが瞬間的に放出され、球面状の強い衝撃波が広がっていく。周囲の空気の圧力の影響は無視でき、空気の比熱比は一定とする。このとき、時刻 $t(>0)$ における衝撃波の半径 $R$ は $E$, $\rho$, $t$ だけで決まり、
$$R=C{E}^a{\rho }^b{t}^c$$
の形に書けるとする。ここで $C$ は正の無次元定数（比熱比によって決まる）、$a$, $b$, $c$ は実数の定数である。

次元解析により $a$, $b$, $c$ を決めたうえで、衝撃波の半径がちょうど $R$ になった瞬間の衝撃波面の広がる速さ $U=\frac{dR}{dt}$ を、$C$, $E$, $\rho$, $R$ を用いて表せ。

無重力の宇宙船内に浮かぶ球形の液滴は、表面張力を復元力として形がわずかに振動する。この微小振動の振動数 $f$ は、液体の表面張力 $\sigma$（単位 $N/m$）、液体の密度 $\rho$（単位 $kg/{\mathrm{m}}^3$）、液滴の半径 $R$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まり、
$$f=C{\sigma }^{\alpha }{\rho }^{\beta }{R}^{\gamma }$$
の形に書けるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。重力・空気の影響・液体の粘性は無視する。

同じ液体（$\sigma ,\rho$ が同じ）でできた、半径 $R$ の液滴 A と半径 $2R$ の液滴 B が、同じ形の振動（同じ $C$）をしている。液滴 B の振動数は液滴 A の振動数の何倍か。根号を用いた正確な値で求めよ。

密度 $\rho$ の静止した流体の中を、半径 $a$ の球が一定の速さ $v$ で動いている。レイノルズ数が十分に大きく、球が流体から受ける抵抗力の大きさ $F$ は流体の粘性率によらず、$\rho$, $v$, $a$ だけで決まって
$$F=C{\rho }^{\alpha }{v}^{\beta }{a}^{\gamma }$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数で、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。

同じ流体の中で、球の半径を $3$ 倍、速さを $2$ 倍にすると、抵抗力の大きさは何倍になるか。ただし、この変更の後もレイノルズ数は十分に大きく、上の関係式（同じ $C$）がそのまま成り立つものとする。

十分に長いまっすぐな円管（半径 $a$）の中を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が定常な層流として流れている。管の単位長さあたりの圧力降下を $G$（単位 $Pa/m$）とする。単位時間に管の断面を通過する流体の体積（体積流量）$Q$ は $G,\mu ,a$ だけで決まり、
$$Q=C{G}^{\alpha }{\mu }^{\beta }{a}^{\gamma }$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数で、管や流体によらない。

いま、ある管と流体の組（状態 A）で流量が $Q_{\mathrm{A}}$ であった。管の半径を $\frac{3}{2}$ 倍にし、流体を粘性率が $3$ 倍の別の流体に取り替え、単位長さあたりの圧力降下 $G$ は同じに保った（状態 B）。状態 B の流量を $Q_{\mathrm{B}}$ とするとき、比 $\frac{Q_{\mathrm{B}}}{Q_{\mathrm{A}}}$ を既約分数で求めよ。

ノズルから噴き出した細い円柱状の液体の噴流は、表面張力のはたらきで途中からくびれて液滴に分裂する。粘性と重力の影響が無視できるとき、噴流に生じた小さなくびれが成長して分裂に至るまでの特徴的な時間 $\tau$ は、液体の密度 $\rho$、表面張力係数 $\sigma$、噴流の半径 $R$ の 3 つの量だけで決まり、
$$\tau =C{\rho }^{\alpha }{\sigma }^{\beta }{R}^{\gamma }$$
（$C$ は次元をもたない定数、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数）と書けるものとする。

同じ液体を用い、噴流の半径だけを $2$ 倍にしたとき、$\tau$ は何倍になるか。正確な値（根号を含む形）で求めよ。ただし、$C$ は半径によらないものとする。