流体力学・連続体の問題

半径 $b$ の長い円管の中心軸に沿って、半径 $a(0<a<b)$ の円柱が同軸に固定されている。円管と円柱の間の環状のすき間（$a<r<b$、$r$ は中心軸からの距離）を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が、軸方向の一定の圧力勾配 $-\frac{dp}{dz}=G(>0)$ によって定常に流れている。

流れは軸方向の層流で、流速は $u(r)$（$z$ によらない）と表され、外力（重力など）は無視できる。円管の内壁 $r=b$ と円柱の表面 $r=a$ では、流体は滑りなし条件 $u(a)=u(b)=0$ を満たす。

すき間の中で流速 $u(r)$ が最大となる位置の半径 $r_{\mathrm{m}}$ を、$a,b$ を用いて表せ。

半径 $a$ の水平でまっすぐな円管の中を、粘性係数 $\mu$ の非圧縮性のニュートン流体が、管の長さ $L$ あたり一定の圧力差 $\Delta p$ によって定常な層流（ハーゲン・ポアズイユ流）で流れている。管の中心軸からの距離を $r$ とすると、流速の分布は
$$u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu L}\left(a^2-r^2\right)(0\le r\le a)$$
で与えられる。重力の影響はなく、管の入口・出口付近の効果は無視する。

管の断面のうち、中心軸から半径 $\frac{a}{2}$ の円の内側を通る体積流量は、管全体の体積流量の何倍か。既約分数で求めよ。

間隔 $h(h>0)$ で平行に置かれた 2 枚の無限に広い平板の間を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が満たしている。平板に平行に $x$ 軸、平板に垂直に $y$ 軸をとり、下の平板を $y=0$、上の平板を $y=h$ とする。下の平板は静止しており、上の平板は $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $U(U>0)$ で動いている。

流れは $x$ 方向の定常な層流で、流速は $u(y)$ のように $y$ だけの関数であり、平板の表面では流体は平板と同じ速度をもつ（すべりなし条件）。流体中の圧力 $p$ は $x$ だけの関数で、圧力勾配 $\frac{dp}{dx}$ は一定である。重力の影響は無視する。

平板の間を流れる流体の、$z$ 方向（$x$, $y$ の両方に垂直な方向）の単位幅あたりの正味の体積流量が $0$ になるとき、圧力勾配 $\frac{dp}{dx}$ を $\mu$, $U$, $h$ を用いて表せ。

水平面と角 $\theta (0<\theta <\frac{\pi }{2})$ をなす十分に広い平らな斜面の上を、密度 $\rho$、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が、一定の厚さ $h$ の薄い液膜となって斜面に沿って定常に流れ下っている。

斜面に沿って下向きに $x$ 軸、斜面に垂直に上向きに $y$ 軸をとり（斜面上で $y=0$、液膜の自由表面で $y=h$）、流れは $x$ 方向の層流で、流速 $u(y)$ は $y$ だけの関数であるとする。斜面上では滑りなし条件 $u(0)=0$ が成り立ち、自由表面では空気から受けるせん断応力は $0$（${\frac{du}{dy}|}_{y=h}=0$）、圧力は一様な大気圧であるとする。重力加速度の大きさを $g$ とする。

液膜の、流れに垂直な単位幅あたりの体積流量 $q$ を、$\rho ,\mu ,g,h,\theta$ を用いて表せ。

鉛直な側壁をもつ断面積 $S$ の円筒形の容器の底の中心に、半径 $a$、長さ $L$ のまっすぐな細い円管（毛細管）が鉛直下向きに取り付けられている。容器と円管には、密度 $\rho$、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が満たされている。円管の下端は大気に開いていて、流体はそこから流れ出る。容器の液面と円管の下端の出口での圧力は、どちらも大気圧 $p_0$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とする。

容器の底（円管の上端）から測った液面の高さを $h$ とし、時刻 $t=0$ で $h=h_0(>0)$ であった。次を仮定する。
- 円管の中の流れは、各瞬間において管軸に平行な十分に発達した定常層流（ハーゲン・ポアズイユ流）とみなせる（準定常近似）。円管の入口・出口付近の流れの乱れ、流出する流体の運動エネルギー、出口での表面張力は無視する。
- $S\gg \pi a^2$ であり、容器内の流体の速度は十分に小さく、容器内の圧力は静水圧分布に従う。
- 考える時間の間、円管は常に流体で満たされている。

液面の高さが $h=\frac{h_0}{2}$ になる時刻 $t_1$ を、$S,a,L,\rho ,\mu ,g,h_0$ を用いて表せ。