流体力学・連続体の問題

間隔 $h(h>0)$ で平行に置かれた 2 枚の無限に広い平板の間を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が満たしている。平板に平行に $x$ 軸、平板に垂直に $y$ 軸をとり、下の平板を $y=0$、上の平板を $y=h$ とする。下の平板は静止しており、上の平板は $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $U(U>0)$ で動いている。

流れは $x$ 方向の定常な層流で、流速は $u(y)$ のように $y$ だけの関数であり、平板の表面では流体は平板と同じ速度をもつ（すべりなし条件）。流体中の圧力 $p$ は $x$ だけの関数で、圧力勾配 $\frac{dp}{dx}$ は一定である。重力の影響は無視する。

平板の間を流れる流体の、$z$ 方向（$x$, $y$ の両方に垂直な方向）の単位幅あたりの正味の体積流量が $0$ になるとき、圧力勾配 $\frac{dp}{dx}$ を $\mu$, $U$, $h$ を用いて表せ。

半径 $a$、長さ $L$ のまっすぐな円管の中を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が、管の両端の圧力差 $\Delta p(>0)$ によって定常に流れている。流れは管軸に平行な層流（ハーゲン・ポアズイユ流）で、管の入口・出口付近の影響と重力は無視でき、管壁では流速が $0$（滑りなし条件）とする。

管軸からの距離が $b(0<b<a)$ 以下の部分（管と同軸の半径 $b$ の円の内側）を通る体積流量が、管全体の体積流量のちょうど半分になるとき、$b$ を $a$ を用いて表せ。

半径 $b$ の長い円管の中心軸に沿って、半径 $a(0<a<b)$ の円柱が同軸に固定されている。円管と円柱の間の環状のすき間（$a<r<b$、$r$ は中心軸からの距離）を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が、軸方向の一定の圧力勾配 $-\frac{dp}{dz}=G(>0)$ によって定常に流れている。

流れは軸方向の層流で、流速は $u(r)$（$z$ によらない）と表され、外力（重力など）は無視できる。円管の内壁 $r=b$ と円柱の表面 $r=a$ では、流体は滑りなし条件 $u(a)=u(b)=0$ を満たす。

すき間の中で流速 $u(r)$ が最大となる位置の半径 $r_{\mathrm{m}}$ を、$a,b$ を用いて表せ。

鉛直に置かれた、断面積 $S$ の一様な円筒形の容器がある。容器の上部は大気に開いている。容器の底には面積 $a$ の小さな穴があいていて、水はそこから大気中へ流れ出る。時刻 $t=0$ に容器が空の状態から、上から一定の体積流量 $Q(>0)$ で水を注ぎ始めた。

水位（底から水面までの高さ）を $h$ とする。十分に時間がたつと、水位は一定の値 $h_{\infty }$ に近づく。水位が $\frac{h_{\infty }}{4}$ に達する時刻を、$S,Q,a,g$ を用いて表せ。

ただし、次のように仮定する。
- 水は非圧縮性で粘性を無視できる完全流体とし、重力加速度の大きさを $g$ とする。
- $a\ll S$ であり、水面の降下・上昇の速さは穴から流れ出る水の速さに比べて無視できる。
- 各時刻で流れは定常とみなせ（準定常近似）、水面と穴の出口の圧力はどちらも大気圧に等しい。
- 注がれる水が水面を乱す影響と、穴の出口での縮流は無視する。

貯水槽の鉛直な壁に、幅 $w$、高さ $H$ の長方形の水門がある。水門の上辺は水平で、水面から深さ $d(>0)$ の位置にあり、上辺に沿った水平な軸（ちょうつがい）のまわりに自由に回転できる。水門の反対側（外側）は大気に接している。水門の下辺の位置に、外側から水平に大きさ $F$ の力を加えて、水門が鉛直のまま閉じた状態を保っている。

水は密度 $\rho$ の静止した非圧縮性流体とし、水面は大気に接している。重力加速度の大きさを $g$ とする。水門の質量、ちょうつがいの摩擦、水門の厚さは無視し、水門の下辺には $F$ 以外の力（壁から受ける力など）ははたらかないとする。

$F$ を $\rho ,g,w,H,d$ を用いて表せ。