流体力学・連続体の問題

落球式粘度計で、ある液体の粘性率 $\mu$ を測定する。密度 ${\rho }_{\mathrm{s}}$、半径 $a$ の小さな鋼球を、密度 ${\rho }_{\mathrm{f}}(<{\rho }_{\mathrm{s}})$ の静止した液体中で静かに放すと、鋼球はすぐに終端速度に達し、その後は一定の速さで鉛直に落下した。終端速度に達したあと、鋼球が距離 $d$ を落下するのにかかった時間は $t$ であった。

鋼球が液体から受ける抵抗力はストークスの抵抗則 $F=6\pi \mu av$（$v$ は鋼球の速さ）にしたがうものとし（レイノルズ数は十分小さい）、容器の壁の影響は無視する。重力加速度の大きさを $g$ とする。液体の粘性率 $\mu$ を、${\rho }_{\mathrm{s}},{\rho }_{\mathrm{f}},a,g,d,t$ を用いて表せ。

底面が水平な正方形（一辺 $0.40\mathrm{m}$）で、高さが $H=25\mathrm{cm}$ の直方体の木材がある。木材は均質で、密度は ${\rho }_{\mathrm{s}}=6.0\times 10^{2}kg/{\mathrm{m}}^3$ である。この木材を、底面を水平に保ったまま密度 ${\rho }_{\mathrm{f}}=1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の静止した水に浮かべたところ、そのまま静止した。重力加速度の大きさを $g$ とし、水面と木材の上面にはたらく大気圧は等しいものとする。

木材の喫水（水面から木材の底面までの深さ）は何 cm か。整数で求めよ。

長さ $L=100\mathrm{m}$ の一様な断面をもつ鋼の棒（線材）の上端を天井に固定し、鉛直につり下げた。棒の下端には何もつけず、棒は自重だけで静止している。鋼の密度を $\rho =7.8\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、縦弾性係数を $E=2.0\times 10^{11}\mathrm{Pa}$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。変形は微小で弾性範囲内にあり、各断面の応力は断面内で一様な単軸応力とみなす。

自重による棒全体の伸びは何 mm か。有効数字 2 桁で求めよ。

上面が大気に開いた容器に、密度 ${\rho }_2=1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の水を深さ $1.0\mathrm{m}$ まで入れ、その上に水と混ざらない密度 ${\rho }_1=8.0\times 10^{2}kg/{\mathrm{m}}^3$ の油を厚さ $0.50\mathrm{m}$ だけ静かに重ねた。油と水はどちらも静止しており、非圧縮性とみなす。油の上面にはたらく大気圧を $p_0$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

容器の底面での圧力 $p$ と大気圧 $p_0$ の差 $p-p_0$ は何 Pa か。整数で求めよ。

密度 $\rho$ の静止した流体の中を、半径 $a$ の球が一定の速さ $v$ で動いている。レイノルズ数が十分に大きく、球が流体から受ける抵抗力の大きさ $F$ は流体の粘性率によらず、$\rho$, $v$, $a$ だけで決まって
$$F=C{\rho }^{\alpha }{v}^{\beta }{a}^{\gamma }$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数で、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。

同じ流体の中で、球の半径を $3$ 倍、速さを $2$ 倍にすると、抵抗力の大きさは何倍になるか。ただし、この変更の後もレイノルズ数は十分に大きく、上の関係式（同じ $C$）がそのまま成り立つものとする。