空気抵抗と終端速度

速さに比例する空気抵抗を受けて落下する物体で、加速度がしだいに小さくなり、重力と空気抵抗がつり合って一定の速さ（終端速度 $v_{f} = \frac{m g}{k}$ ）になることと、終端速度が質量に比例することを判定できる

前提

運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））

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重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））

説明

雨粒やパラシュートのように空気中を落ちる物体は、速くなるほど大きな空気抵抗を受けます。この技能では、空気抵抗の大きさが速さに比例する（ $k v$ 、 $k$ は正の定数）場合に、落下する物体の加速度がしだいに小さくなり、やがて一定の速さ（終端速度）で落ちるようになることを判定できるようにします。終端速度が $v_{f} = \frac{m g}{k}$ で表され、形と大きさが同じなら質量に比例することも判断できるようになります。

なぜそうしてよいのか

静かに放した質量 $m$ の物体には、鉛直下向きに重力 $m g$ がはたらきます。落ち始めると、運動の向きと逆の鉛直上向きに空気抵抗 $k v$ がはたらきます（ $v$ は速さ、 $k$ は物体の形や大きさで決まる正の定数）。鉛直下向きを正として運動方程式 $ma = F$ を書くと $ma = m g - k v$ となり、加速度は $a = g - \frac{k}{m} v$ です。

放した瞬間は $v = 0$ なので空気抵抗はなく、 $a = g$ です。速さが増えると上向きの空気抵抗 $k v$ が大きくなり、合力 $m g - k v$ が小さくなるので、加速度もしだいに小さくなります。合力はまだ下向きなので、速さは増え続けます（加速度の向きは合力の向きと同じ）。ただし、増え方はだんだん緩やかになります。

やがて空気抵抗が重力と等しくなり、 $m g = k v$ となると、合力が $0$ になって加速度も $0$ になります。慣性の法則により、物体はそれ以後一定の速さで落ち続けます。このときの速さが終端速度で、 $m g = k v_{f}$ から $v_{f} = \frac{m g}{k}$ です。終端速度で落ちているときも重力と空気抵抗ははたらいており、それらがつり合っているだけです。また、 $k$ が同じ（形と大きさが同じ）なら、 $v_{f}$ は $m$ に比例します。重い物体ほど、つり合うのに大きな空気抵抗、つまり大きな速さが必要になるからです。

手順

物体にはたらく力を確認する。下向きに重力 $m g$ 、運動と逆向き（落下中は上向き）に空気抵抗 $k v$ がはたらく。
下向きを正として運動方程式を立てる： $ma = m g - k v$
速さ $v$ が増えると合力 $m g - k v$ が小さくなり、加速度 $a$ がしだいに小さくなることを読み取る。放した瞬間（ $v = 0$ ）は $a = g$ である。
重力と空気抵抗がつり合う条件 $m g = k v_{f}$ から、終端速度 $v_{f} = \frac{m g}{k}$ を求める。それ以後は加速度 $0$ で、一定の速さで落ちる。
比べる物体の $k$ （形・大きさ）が同じなら、 $v_{f}$ が質量 $m$ に比例することを使って判定する。

例題

空気中で物体を静かに放したところ、物体は鉛直下向きに落下した。物体は、速さ $v$ に比例する大きさ $k v$ （ $k$ は正の定数）の空気抵抗を、運動の向きと逆向きに受けるものとする。重力加速度の大きさを $g$ とする。この物体の運動について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　落下している間、物体の加速度の大きさは常に $g$ である。
イ　物体の速さはしだいに増えるが、やがて重力と空気抵抗がつり合い、一定の速さで落下するようになる。
ウ　形と大きさが同じで質量が 2 倍の物体を同様に落とすと、一定になったときの速さは $\frac{1}{2}$ 倍になる。
エ　一定の速さで落下しているとき、物体には力がはたらいていない。

例題の解答

手順1：物体には、下向きに重力 $m g$ 、上向きに空気抵抗 $k v$ がはたらく。
手順2：下向きを正として運動方程式を立てると $ma = m g - k v$ となる。
手順3： $v$ が増えると合力 $m g - k v$ が小さくなるので、加速度はしだいに小さくなる。加速度が $g$ なのは放した瞬間（ $v = 0$ ）だけであり、アは誤り。
手順4： $m g = k v$ となると合力が $0$ になり、加速度も $0$ になる。それ以後は終端速度 $v_{f} = \frac{m g}{k}$ で一定の速さで落ちるので、イは正しい。このとき重力と空気抵抗は両方はたらいており、つり合っているだけなので、エは誤り。
手順5：形と大きさが同じなら $k$ は同じなので、 $v_{f} = \frac{m g}{k}$ は $m$ に比例する。質量が 2 倍なら終端速度も 2 倍になり、ウは誤り。
よって正しいものはイである。

答え:

イ

よくある誤り

落下中の加速度がずっと $g$ のままだとしてしまう誤り。正しくは $a = g - \frac{k}{m} v$ であり、 $a = g$ になるのは $v = 0$ の瞬間だけである。その後、加速度はしだいに小さくなって $0$ に近づく。
加速度が小さくなるので速さも減っていくとしてしまう誤り。正しくは、 $a > 0$ （合力 $m g - k v > 0$ が下向き）である間は速さが増え続ける。増え方が緩やかになるだけで、最後は $v_{f} = \frac{m g}{k}$ で一定になる。
終端速度で落ちているときは物体に力がはたらいていないとしてしまう誤り。正しくは、重力 $m g$ と空気抵抗 $k v_{f}$ がともにはたらき、 $m g = k v_{f}$ でつり合っているため合力が $0$ になっている。
重い物体ほど空気抵抗の影響が大きく、終端速度が小さくなるとしてしまう誤り。正しくは、 $k$ が同じなら $v_{f} = \frac{m g}{k}$ は $m$ に比例するので、質量が 2 倍なら終端速度も 2 倍になる。なお、形や大きさが違って $k$ が異なる物体どうしでは、質量だけで比べることはできない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
大きさと形が同じで、質量だけが異なる 2 つの小球 A、B がある。A の質量は $2 m$ 、B の質量は $m$ である。A と B を、十分に高い位置から空気中で静かにはなし、それぞれ鉛直下向きに落下させた。どちらの小球も、落下中は運動の向きと逆向きに、速さ $v$ に比例する大きさ $k v$ の空気抵抗を受ける。比例定数 $k$ は正の定数で、A と B で同じ値とする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気による浮力と風は無視する。
A、B の運動について述べた次の文ア〜オのうち、正しいものをすべて選べ。
- ア　はなした直後の加速度の大きさは、A も B も $g$ である。
- イ　落下するにつれて速さが増すので、加速度の大きさもしだいに大きくなっていく。
- ウ　十分に時間がたつと、小球にはたらく重力と空気抵抗がつり合い、小球は一定の速さで落下するようになる。
- エ　十分に時間がたったあとの一定の速さ（終端速度）は、A のほうが B より大きく、B の 2 倍である。
- オ　終端速度で落下している間、小球にはたらく合力は鉛直下向きで、その大きさは重力の大きさに等しい。

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の章末問題レベル）
上空で静かに落下し始めた雨粒が、鉛直下向きに落下していく。雨粒には、重力と、速さに比例する大きさの空気抵抗（運動の向きと逆向き）がはたらくものとし、風はないものとする。また、雨粒の質量は変わらないものとする。
落下し始めてからの雨粒の運動について述べた文として最も適当なものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。
- ア　加速度の大きさは重力加速度の大きさのまま変わらず、速さは限りなく大きくなっていく。
- イ　加速度の大きさはしだいに大きくなり、速さの増え方がしだいに急になっていく。
- ウ　加速度の大きさはしだいに小さくなり、やがて雨粒は一定の速さで落下するようになる。
- エ　速さはいったん最大になったあと、しだいに小さくなり、やがて雨粒は空中で止まる。
- オ　一定の速さで落下するようになったとき、雨粒には空気抵抗だけがはたらいている。

難易度 3（共通テストレベル）

空気中を運動する小球を考える。小球は運動の向きと逆向きに、速さに比例する大きさの空気抵抗を受ける（比例定数は正の定数で、運動の間変わらない）ものとする。重力加速度の大きさは一定とし、空気による浮力と風は無視する。この小球を空気中で静かにはなすと、速さはしだいに大きくなり、やがて一定の速さに近づく。この一定の速さを、この小球の終端速度の大きさとよぶ。

いま、この小球を十分に高い位置から、終端速度の大きさより大きい速さで鉛直下向きに投げ下ろした。投げ下ろした直後、小球にはたらく空気抵抗の大きさは、重力の大きさより　a　。その後、地面に達するまでの十分長い時間の間、小球の速さは　b　。

文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして最も適当なものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。

	a	b
ア	小さい	小さくなっていき、終端速度の大きさに近づく
イ	大きい	小さくなっていき、やがて $0$ になる
ウ	大きい	小さくなっていき、終端速度の大きさに近づく
エ	小さい	小さくなっていき、やがて $0$ になる

難易度 4（国公立二次の標準レベル）

空気中で静かにはなした小球が、鉛直下向きに落下する運動を考える。小球は落下中、運動の向きと逆向きに、速さに比例する大きさの空気抵抗を受けるものとする（比例定数は正の定数）。重力加速度の大きさは一定とし、空気による浮力は無視する。

次の文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして最も適当なものを、下のア〜カのうちから 1 つ選べ。

> 小球をはなした直後から、小球の速さは増していくが、小球の加速度の大きさは時間とともに［ a ］。十分に時間がたつと、小球は一定の速さで落下するようになる。この一定の速さを終端速度という。空気抵抗の比例定数は同じで、質量だけが 2 倍の小球を同じように落下させると、終端速度の大きさはもとの小球の［ b ］になる。

	a	b
ア	一定のままである	同じ大きさ
イ	一定のままである	2 倍
ウ	しだいに小さくなる	$\frac{1}{2}$ 倍
エ	しだいに小さくなる	同じ大きさ
オ	しだいに小さくなる	2 倍
カ	一定のままである	$\frac{1}{2}$ 倍

この技能の次に学べること

ストークスの抵抗と終端速度（大学物理流体力学・連続体）