力と運動（知識）の問題
上空で静かに落下し始めた雨粒が、鉛直下向きに落下していく。雨粒には、重力と、速さに比例する大きさの空気抵抗（運動の向きと逆向き）がはたらくものとし、風はないものとする。また、雨粒の質量は変わらないものとする。
落下し始めてからの雨粒の運動について述べた文として最も適当なものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。
- ア 加速度の大きさは重力加速度の大きさのまま変わらず、速さは限りなく大きくなっていく。
- イ 加速度の大きさはしだいに大きくなり、速さの増え方がしだいに急になっていく。
- ウ 加速度の大きさはしだいに小さくなり、やがて雨粒は一定の速さで落下するようになる。
- エ 速さはいったん最大になったあと、しだいに小さくなり、やがて雨粒は空中で止まる。
- オ 一定の速さで落下するようになったとき、雨粒には空気抵抗だけがはたらいている。
この問題で使うもの
- 空気抵抗と終端速度（説明と入口の問題）
- 運動の法則（運動方程式）（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（7 技能）
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ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
雨粒にはたらく力（重力と空気抵抗）を書き出し、運動方程式を立てて考えましょう。
ヒント 2
空気抵抗の大きさは速さに比例するので、速さが大きくなると空気抵抗も大きくなり、重力との合力が変化します。
ヒント 3
合力が小さくなると加速度はどうなるか、合力が になったときにはどんな運動になるかを考えると、選択肢を絞れます。
答えと解説
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ウ
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解説を読む
雨粒の質量を 、重力加速度の大きさを 、速さを 、空気抵抗の比例定数を とし、鉛直下向きを正とすると、雨粒の運動方程式は
です。
ウ（正しい） 落下し始め（）は ですが、速さ が大きくなるにつれて空気抵抗 が大きくなるので、加速度 はしだいに小さくなります。やがて空気抵抗の大きさが重力の大きさと等しくなる（）と、合力が になって加速度も になり、雨粒は一定の速さで落下します。この一定の速さ を終端速度といいます。
ア（誤り） 加速度が重力加速度のまま変わらないのは、空気抵抗を無視できる場合（自由落下）です。空気抵抗がはたらくと、加速度はしだいに小さくなり、速さは終端速度より大きくなりません。
イ（誤り） 空気抵抗は速さとともに大きくなり、重力と逆向きにはたらくので、合力は小さくなっていきます。したがって加速度の大きさは小さくなります。
エ（誤り） 速さが終端速度に近づくと合力が に近づくだけで、空気抵抗が重力を上回って減速することはありません。雨粒が空中で止まることもありません。
オ（誤り） 一定の速さで落下しているとき、雨粒には重力と空気抵抗がはたらいていて、この 2 力がつり合っています。重力がなくなるわけではありません。
よって、最も適当なものはウです。
別解
下向きを正とし、抵抗の比例定数を とすると運動方程式は 。
ア: 速さが増すと が増え、加速度は より小さくなる。誤り。
イ: 加速度は で、 が増すにつれ小さくなる。誤り。
ウ: 加速度はしだいに小さくなり、 で となって一定の速さ（終端速度 ）になる。正しい。
エ: 速さは に近づくだけで、最大のあと減少することも止まることもない。誤り。
オ: 一定の速さのときは重力と空気抵抗がつり合っており、重力もはたらいている。誤り。
よって ウ。