力と運動（知識）の問題

難易度 3共通テストレベル高校物理力と運動（知識）

空気中を運動する小球を考える。小球は運動の向きと逆向きに、速さに比例する大きさの空気抵抗を受ける（比例定数は正の定数で、運動の間変わらない）ものとする。重力加速度の大きさは一定とし、空気による浮力と風は無視する。この小球を空気中で静かにはなすと、速さはしだいに大きくなり、やがて一定の速さに近づく。この一定の速さを、この小球の終端速度の大きさとよぶ。

いま、この小球を十分に高い位置から、終端速度の大きさより大きい速さで鉛直下向きに投げ下ろした。投げ下ろした直後、小球にはたらく空気抵抗の大きさは、重力の大きさより　a　。その後、地面に達するまでの十分長い時間の間、小球の速さは　b　。

文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして最も適当なものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。

	a	b
ア	小さい	小さくなっていき、終端速度の大きさに近づく
イ	大きい	小さくなっていき、やがて $0$ になる
ウ	大きい	小さくなっていき、終端速度の大きさに近づく
エ	小さい	小さくなっていき、やがて $0$ になる

この問題で使うもの

空気抵抗と終端速度（説明と入口の問題）
運動の法則（運動方程式）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（7 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

終端速度の大きさになるとき、小球にはたらく重力と空気抵抗の関係がどうなっているかを考えよう。

ヒント 2

終端速度の大きさ $v_{f}$ では、空気抵抗の大きさ $k v_{f}$ と重力の大きさ $m g$ が等しい。速さが $v_{f}$ より大きいと、空気抵抗はどうなるか。

ヒント 3

a は空気抵抗が速さに比例することから決まり、ア・エを除ける。残りは、速さが $v_{f}$ に近づいたときに合力がどうなるかを考えて判断しよう。

答えと解説

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ウ

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解説を読む

小球の質量を $m$ 、重力加速度の大きさを $g$ 、空気抵抗の比例定数を $k$ 、速さを $v$ とする。空気抵抗の大きさは $k v$ である。

終端速度の意味　静かにはなした小球は、はじめ重力 $m g$ が空気抵抗 $k v$ より大きいので加速する。速さが増すと空気抵抗が大きくなり、やがて $k v$ が $m g$ に等しくなると、合力が $0$ になって加速度が $0$ になり、速さが一定になる。このときの速さが終端速度の大きさ $v_{f}$ で、
$k v_{f} = m g$
を満たす。

空欄 a　投げ下ろした直後の速さ $v_{0}$ は $v_{0} > v_{f}$ なので、
$k v_{0} > k v_{f} = m g$
となる。つまり空気抵抗の大きさは重力の大きさより大きい。

空欄 b　小球は下向きに運動しているので、空気抵抗は鉛直上向きにはたらく。a より合力は鉛直上向きになり、運動方程式から加速度も上向き（運動と逆向き）なので、速さは小さくなっていく。速さが小さくなると空気抵抗 $k v$ も小さくなり、 $m g$ に近づくので、上向きの合力も $0$ に近づく。したがって速さの減り方はしだいにゆるやかになり、速さは $v_{f}$ に近づいていく。速さが $v_{f}$ より小さくなることはない（仮に $v < v_{f}$ になれば合力は下向きになり、速さは増す）ので、速さが $0$ になることはない。よって b は「小さくなっていき、終端速度の大きさに近づく」である。

各選択肢
- ア：a が誤り。 $v_{0} > v_{f}$ なので空気抵抗は重力より大きい。
- イ：b が誤り。速さが $v_{f}$ に近づくと合力が $0$ に近づくので、速さが $0$ まで減ることはない。
- エ：a、b ともに誤り。

よって、正しい組み合わせはウである。

別解

空気抵抗の大きさを $k v$ （ $k > 0$ ）、小球の質量を $m$ とする。終端速度の大きさ $v_{t}$ は、重力と空気抵抗がつり合う速さで $k v_{t} = m g$ 、すなわち $v_{t} = m g / k$ 。

投げ下ろした直後の速さ $v_{0}$ は $v_{0} > v_{t}$ なので、空気抵抗は $k v_{0} > k v_{t} = m g$ となり、重力の大きさより大きい。よって a は「大きい」。

鉛直下向きを正とすると、運動方程式は $ma = m g - k v$ 。 $v > v_{t}$ では $k v > m g$ なので $a < 0$ となり、加速度は上向き（速さを減らす向き）。速さが減ると $k v$ も減り、 $v \to v_{t}$ に近づく（ $a \to 0$ ）。 $v = v_{t}$ では $a = 0$ で、これ以上は変化しない。したがって速さは小さくなっていき、終端速度の大きさに近づく。速さが $0$ になることはない（ $v < v_{t}$ になると $a > 0$ で加速に転じるため、 $v_{t}$ より小さくはならない）。よって b は「小さくなっていき、終端速度の大きさに近づく」。

選択肢の確認:
- ア: aが「小さい」は誤り。
- イ: aは正しいが、bの「やがて $0$ になる」は誤り（重力が続けてはたらくので止まらない）。
- ウ: a「大きい」、b「終端速度の大きさに近づく」とも正しい。
- エ: a、bともに誤り。

よって答えはウ。

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難易度 4（国公立二次の標準レベル）

空気中で静かにはなした小球が、鉛直下向きに落下する運動を考える。小球は落下中、運動の向きと逆向きに、速さに比例する大きさの空気抵抗を受けるものとする（比例定数は正の定数）。重力加速度の大きさは一定とし、空気による浮力は無視する。

次の文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして最も適当なものを、下のア〜カのうちから 1 つ選べ。

> 小球をはなした直後から、小球の速さは増していくが、小球の加速度の大きさは時間とともに［ a ］。十分に時間がたつと、小球は一定の速さで落下するようになる。この一定の速さを終端速度という。空気抵抗の比例定数は同じで、質量だけが 2 倍の小球を同じように落下させると、終端速度の大きさはもとの小球の［ b ］になる。

	a	b
ア	一定のままである	同じ大きさ
イ	一定のままである	2 倍
ウ	しだいに小さくなる	$\frac{1}{2}$ 倍
エ	しだいに小さくなる	同じ大きさ
オ	しだいに小さくなる	2 倍
カ	一定のままである	$\frac{1}{2}$ 倍

	a	b
ア	本が机を押す力	机が本を押す力
イ	机が本を押す力	本が机を押す力
ウ	本が机を押す力	本が地球を引く力
エ	机が本を押す力	本が地球を引く力

難易度 3（共通テストレベル）

大きさをもつ物体（剛体）が、いくつかの力を受けて静止している場合を考える。次の文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして正しいものを、下の表のア〜エのうちから 1 つ選べ。

剛体が静止を続ける（つり合う）ための条件は、剛体にはたらく力の [ a ] が $0$ であり、かつ、ある 1 点のまわりの力のモーメントの和が $0$ であることである。この 2 つの条件が成り立つとき、力のモーメントの和は、[ b ]。

	a	b
ア	大きさの和	どの点のまわりで考えても $0$ になる
イ	大きさの和	考える点によっては $0$ にならない
ウ	ベクトルの和（合力）	どの点のまわりで考えても $0$ になる
エ	ベクトルの和（合力）	考える点によっては $0$ にならない

難易度 1（教科書の例題レベル）
大きさと形が同じで、質量だけが異なる 2 つの小球 A、B がある。A の質量は $2 m$ 、B の質量は $m$ である。A と B を、十分に高い位置から空気中で静かにはなし、それぞれ鉛直下向きに落下させた。どちらの小球も、落下中は運動の向きと逆向きに、速さ $v$ に比例する大きさ $k v$ の空気抵抗を受ける。比例定数 $k$ は正の定数で、A と B で同じ値とする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気による浮力と風は無視する。
A、B の運動について述べた次の文ア〜オのうち、正しいものをすべて選べ。
- ア　はなした直後の加速度の大きさは、A も B も $g$ である。
- イ　落下するにつれて速さが増すので、加速度の大きさもしだいに大きくなっていく。
- ウ　十分に時間がたつと、小球にはたらく重力と空気抵抗がつり合い、小球は一定の速さで落下するようになる。
- エ　十分に時間がたったあとの一定の速さ（終端速度）は、A のほうが B より大きく、B の 2 倍である。
- オ　終端速度で落下している間、小球にはたらく合力は鉛直下向きで、その大きさは重力の大きさに等しい。