流体力学・連続体の問題

落球式粘度計で液体の粘性率を測定する。半径 $a=1.0\mathrm{mm}$、密度 ${\rho }_{\mathrm{s}}=7.80\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の鋼球を、密度 ${\rho }_{\mathrm{f}}=1.26\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の静止した液体中で静かに落とすと、鋼球はすぐに一定の速さになり、その後 $0.120\mathrm{m}$ の距離を $10.0\mathrm{s}$ で落下した。鋼球が液体から受ける抵抗力はストークスの抵抗則 $F=6\pi \mu av$（$\mu$ は液体の粘性率、$v$ は球の速さ）に従うものとし、容器の壁の影響は無視する。重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

この液体の粘性率 $\mu$ は何 $\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

密度 $\rho$ の静止した流体の中を、半径 $a$ の球が一定の速さ $v$ で動いている。レイノルズ数が十分に大きく、球が流体から受ける抵抗力の大きさ $F$ は流体の粘性率によらず、$\rho$, $v$, $a$ だけで決まって
$$F=C{\rho }^{\alpha }{v}^{\beta }{a}^{\gamma }$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数で、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。

同じ流体の中で、球の半径を $3$ 倍、速さを $2$ 倍にすると、抵抗力の大きさは何倍になるか。ただし、この変更の後もレイノルズ数は十分に大きく、上の関係式（同じ $C$）がそのまま成り立つものとする。

鉛直な側壁をもつ断面積 $S$ の円筒形の容器の底の中心に、半径 $a$、長さ $L$ のまっすぐな細い円管（毛細管）が鉛直下向きに取り付けられている。容器と円管には、密度 $\rho$、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が満たされている。円管の下端は大気に開いていて、流体はそこから流れ出る。容器の液面と円管の下端の出口での圧力は、どちらも大気圧 $p_0$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とする。

容器の底（円管の上端）から測った液面の高さを $h$ とし、時刻 $t=0$ で $h=h_0(>0)$ であった。次を仮定する。
- 円管の中の流れは、各瞬間において管軸に平行な十分に発達した定常層流（ハーゲン・ポアズイユ流）とみなせる（準定常近似）。円管の入口・出口付近の流れの乱れ、流出する流体の運動エネルギー、出口での表面張力は無視する。
- $S\gg \pi a^2$ であり、容器内の流体の速度は十分に小さく、容器内の圧力は静水圧分布に従う。
- 考える時間の間、円管は常に流体で満たされている。

液面の高さが $h=\frac{h_0}{2}$ になる時刻 $t_1$ を、$S,a,L,\rho ,\mu ,g,h_0$ を用いて表せ。

密度 $\rho$ の静止した水をためた貯水槽の鉛直な側壁に、幅 $w$、高さ $h$ の長方形の水門がはめ込まれている。水門の上端と下端は水平で、上端は水面から深さ $d(>0)$ の位置にある。水門の片側は水に接し、反対側は大気に接している。

水は非圧縮性で静止しており、重力加速度の大きさを $g$ とする。水面と水門の外側には同じ大気圧がはたらいている。水門が水から受ける力と大気から受ける力の合力の大きさ $F$ を、$\rho ,g,w,h,d$ を用いて表せ。

一様な密度 $\rho$ の静止した空気中の 1 点で、時刻 $t=0$ に大きさ $E$ のエネルギーが瞬間的に放出され、球面状の強い衝撃波が広がっていく。周囲の空気の圧力の影響は無視でき、空気の比熱比は一定とする。このとき、時刻 $t(>0)$ における衝撃波の半径 $R$ は $E$, $\rho$, $t$ だけで決まり、
$$R=C{E}^a{\rho }^b{t}^c$$
の形に書けるとする。ここで $C$ は正の無次元定数（比熱比によって決まる）、$a$, $b$, $c$ は実数の定数である。

次元解析により $a$, $b$, $c$ を決めたうえで、衝撃波の半径がちょうど $R$ になった瞬間の衝撃波面の広がる速さ $U=\frac{dR}{dt}$ を、$C$, $E$, $\rho$, $R$ を用いて表せ。