流体力学・連続体の問題

静止した水をためた水槽の鉛直な壁に、幅 $b=2.0\mathrm{m}$、高さ $a=3.0\mathrm{m}$ の長方形の水門がある。水門の上端は水平で、水面から深さ $1.0\mathrm{m}$ の位置にあり、下端は深さ $4.0\mathrm{m}$ の位置にある。水門の反対側は大気に接しており、水面にも大気圧がはたらいている。水の密度を $\rho$、重力加速度の大きさを $g$ とし、水は非圧縮性とみなす。図心を通る水平軸のまわりの長方形の断面二次モーメントは $I_G=\frac{b{a}^3}{12}$ である。

水が水門に及ぼす正味の全圧力（大気圧の寄与を除いた力）の作用点、すなわち圧力中心の水面からの深さ $h_P$ は何 m か。小数で求めよ。

上面が大気に開いた容器に、密度 ${\rho }_2=1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の水を深さ $1.0\mathrm{m}$ まで入れ、その上に水と混ざらない密度 ${\rho }_1=8.0\times 10^{2}kg/{\mathrm{m}}^3$ の油を厚さ $0.50\mathrm{m}$ だけ静かに重ねた。油と水はどちらも静止しており、非圧縮性とみなす。油の上面にはたらく大気圧を $p_0$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

容器の底面での圧力 $p$ と大気圧 $p_0$ の差 $p-p_0$ は何 Pa か。整数で求めよ。

落球式粘度計で液体の粘性率を測定する。半径 $a=1.0\mathrm{mm}$、密度 ${\rho }_{\mathrm{s}}=7.80\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の鋼球を、密度 ${\rho }_{\mathrm{f}}=1.26\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の静止した液体中で静かに落とすと、鋼球はすぐに一定の速さになり、その後 $0.120\mathrm{m}$ の距離を $10.0\mathrm{s}$ で落下した。鋼球が液体から受ける抵抗力はストークスの抵抗則 $F=6\pi \mu av$（$\mu$ は液体の粘性率、$v$ は球の速さ）に従うものとし、容器の壁の影響は無視する。重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

この液体の粘性率 $\mu$ は何 $\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

密度 $\rho$、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた、長さ $L$、断面積 $A$ の一様な細長い棒がある。この棒の上端を天井に固定し、鉛直につり下げたところ、棒は自身の重さだけによって静かに伸びた。重力加速度の大きさを $g$ とする。

棒の各断面では鉛直方向の引張応力が断面内で一様に分布し、横方向（水平方向）の応力は $0$ とみなせるものとする。また、ひずみは十分小さく、応力は変形前の寸法で計算してよい（微小変形）。

つり下げたことによる棒の体積の変化 $\Delta V$ と、つり下げる前の体積 $V=AL$ の比 $\frac{\Delta V}{V}$ を、$\rho ,g,L,E,\nu$ を用いて表せ。

底面が水平な正方形（一辺 $0.40\mathrm{m}$）で、高さが $H=25\mathrm{cm}$ の直方体の木材がある。木材は均質で、密度は ${\rho }_{\mathrm{s}}=6.0\times 10^{2}kg/{\mathrm{m}}^3$ である。この木材を、底面を水平に保ったまま密度 ${\rho }_{\mathrm{f}}=1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の静止した水に浮かべたところ、そのまま静止した。重力加速度の大きさを $g$ とし、水面と木材の上面にはたらく大気圧は等しいものとする。

木材の喫水（水面から木材の底面までの深さ）は何 cm か。整数で求めよ。