流体力学・連続体の問題

密度 $\rho$ の静止した水をためた貯水槽の鉛直な側壁に、幅 $w$、高さ $h$ の長方形の水門がはめ込まれている。水門の上端と下端は水平で、上端は水面から深さ $d(>0)$ の位置にある。水門の片側は水に接し、反対側は大気に接している。

水は非圧縮性で静止しており、重力加速度の大きさを $g$ とする。水面と水門の外側には同じ大気圧がはたらいている。水門が水から受ける力と大気から受ける力の合力の大きさ $F$ を、$\rho ,g,w,h,d$ を用いて表せ。

上面が大気に開いた容器に、密度 ${\rho }_2=1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の水を深さ $1.0\mathrm{m}$ まで入れ、その上に水と混ざらない密度 ${\rho }_1=8.0\times 10^{2}kg/{\mathrm{m}}^3$ の油を厚さ $0.50\mathrm{m}$ だけ静かに重ねた。油と水はどちらも静止しており、非圧縮性とみなす。油の上面にはたらく大気圧を $p_0$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

容器の底面での圧力 $p$ と大気圧 $p_0$ の差 $p-p_0$ は何 Pa か。整数で求めよ。

貯水槽の鉛直な壁に、幅 $w$、高さ $H$ の長方形の水門がある。水門の上辺は水平で、水面から深さ $d(>0)$ の位置にあり、上辺に沿った水平な軸（ちょうつがい）のまわりに自由に回転できる。水門の反対側（外側）は大気に接している。水門の下辺の位置に、外側から水平に大きさ $F$ の力を加えて、水門が鉛直のまま閉じた状態を保っている。

水は密度 $\rho$ の静止した非圧縮性流体とし、水面は大気に接している。重力加速度の大きさを $g$ とする。水門の質量、ちょうつがいの摩擦、水門の厚さは無視し、水門の下辺には $F$ 以外の力（壁から受ける力など）ははたらかないとする。

$F$ を $\rho ,g,w,H,d$ を用いて表せ。

底面が水平な正方形（一辺 $0.40\mathrm{m}$）で、高さが $H=25\mathrm{cm}$ の直方体の木材がある。木材は均質で、密度は ${\rho }_{\mathrm{s}}=6.0\times 10^{2}kg/{\mathrm{m}}^3$ である。この木材を、底面を水平に保ったまま密度 ${\rho }_{\mathrm{f}}=1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の静止した水に浮かべたところ、そのまま静止した。重力加速度の大きさを $g$ とし、水面と木材の上面にはたらく大気圧は等しいものとする。

木材の喫水（水面から木材の底面までの深さ）は何 cm か。整数で求めよ。

長さ $l=20\mathrm{m}$、幅 $B=6.0\mathrm{m}$ の直方体の箱形はしけが、静水に底面を水平にして浮かんでおり、喫水（水面から底面までの深さ）は $d=1.0\mathrm{m}$ である。積み荷を含めたはしけ全体の重心 G は、幅と長さの中央で、底面から高さ $1.5\mathrm{m}$ の位置にある。はしけが長さ方向の軸のまわりにわずかに傾く（横揺れする）場合を考える。喫水面（水面で切ったはしけの断面）の、長さ方向の中心軸のまわりの断面二次モーメントは $I=\frac{l{B}^3}{12}$ である。

この横揺れに対するメタセンタ高さ $\overline{\mathrm{GM}}$ は何 m か。整数で求めよ。