流体力学・連続体の問題

1. 釣り合いの位置

円柱の断面積を $A=\pi a^2$ とし、円柱の底面から境界面までの高さを $d$ とする。油に浸かっている部分の長さは油層の厚さ $t=\frac{h}{3}$ に等しい。流体が静止しているので、物体が受ける静水圧の合力は、物体が押しのけた位置にあった流体の重さに等しい（アルキメデスの原理を層ごとに使える）。したがって鉛直方向の力の釣り合いは
$$\frac{1}{2}\rho Ahg=\rho Adg+\frac{3}{4}\rho Atg$$
となり、
$$d=\frac{h}{2}-\frac{3}{4}\cdot \frac{h}{3}=\frac{h}{4}$$
を得る。浸かっている長さの合計は $\frac{h}{4}+\frac{h}{3}=\frac{7h}{12}<h$ なので、上面は油面より上にあり、仮定と矛盾しない。

2. 傾けたときの力のモーメント

円柱に固定した座標をとる。底面の中心を原点とし、中心軸に沿って上向きに $\zeta$、それに垂直に $\xi$ をとる。円柱を微小角 $\theta$ だけ傾けると、実験室系での位置は 1 次の近似で
$$x=\xi +\zeta \theta ,z=\zeta -\xi \theta$$
となる。

油面と境界面は、物体に固定した座標では中心軸上の同じ点を通る平面である。円柱の断面は $\xi$ について対称なので、各層に浸かっている体積は $\theta$ の 1 次までは変わらない。したがって、浮力の大きさは重さと釣り合ったままである。

静水圧による力のモーメントは、物体を「その位置にあった流体」で置き換えたものに等しい。その置き換えた流体は静止して釣り合っているからである。流体の密度を高さの関数 ${\rho }_f(z)$ と書くと、浮力の作用線の水平位置のモーメントは
$$\int {\rho }_f(z)xdV=\int {\rho }_f(\zeta -\xi \theta )(\xi +\zeta \theta )dV\simeq \theta \int {\rho }_f(\zeta )\zeta dV-\theta \int {\xi }^2{\rho }_f^{\prime }(\zeta )dV$$
となる。ここで $\int {\rho }_f\xi dV=0$（対称性）を使った。

${\rho }_f$ は各境界で下の密度から上の密度へ $\Delta {\rho }_k$ だけ不連続に減るので、${\rho }_f^{\prime }=-{\sum }_k\Delta {\rho }_k\delta (\zeta -c_k)$ である。よって第 2 項は $\theta {\sum }_k\Delta {\rho }_{k}I$ となる。ここで
$$I=\int {\xi }^{2}dA=\frac{\pi a^4}{4}$$
は断面の断面二次モーメントである。

• 油面での密度の跳びは $\frac{3}{4}\rho -0=\frac{3}{4}\rho$
• 境界面での密度の跳びは $\rho -\frac{3}{4}\rho =\frac{1}{4}\rho$

なので、${\sum }_k\Delta {\rho }_k=\rho$ である。

重力のモーメントは、重心の高さ ${\zeta }_G=\frac{h}{2}$ を用いて $Mg{\zeta }_G\theta$（$M=\frac{1}{2}\rho Ah$）で、傾きを増やす向きにはたらく。したがって安定の条件は
$$\rho I+\int {\rho }_f\zeta dV>M{\zeta }_G(1)$$
である。

3. 各項の計算

$$\int {\rho }_f\zeta dV=A\left[\rho \frac{d^2}{2}+\frac{3}{4}\rho \frac{(d+t{)}^2-d^2}{2}\right]=\rho A\left[\frac{d^2}{2}+\frac{3}{4}t\left(d+\frac{t}{2}\right)\right]$$

ここに $d=\frac{h}{4}$, $t=\frac{h}{3}$ を代入する。$\frac{d^2}{2}=\frac{h^2}{32}$、$\frac{3}{4}\cdot \frac{h}{3}\left(\frac{h}{4}+\frac{h}{6}\right)=\frac{h}{4}\cdot \frac{5h}{12}=\frac{5h^2}{48}$ なので、
$$\int {\rho }_f\zeta dV=\rho A\left(\frac{3h^2}{96}+\frac{10h^2}{96}\right)=\frac{13}{96}\rho A{h}^2$$

また、$M{\zeta }_G=\frac{1}{2}\rho Ah\cdot \frac{h}{2}=\frac{1}{4}\rho A{h}^2=\frac{24}{96}\rho A{h}^2$ である。

4. 臨界半径

$(1)$ に代入して $\rho A=\rho \pi a^2$ で割ると
$$\frac{a^2}{4}+\frac{13}{96}{h}^2>\frac{24}{96}{h}^2⟺a^2>\frac{11}{24}{h}^2$$
となる。よって
$$a_{\mathrm{c}}=h\sqrt{\frac{11}{24}}=\frac{\sqrt{66}}{12}h(\approx 0.68h)$$

【つり合い】油層の厚さを $s=h/3$、油の密度を ${\rho }_o=\frac{3}{4}\rho$、円柱の質量を $M=\frac{1}{2}\rho \pi a^{2}h$ とする。水中に沈んでいる部分の長さを $d$ とすると、浮力と重力のつり合いは ${\rho }_o\pi a^{2}s+\rho \pi a^{2}d=\frac{1}{2}\rho \pi a^{2}h$ である。これより $d=h/4$ となる。円柱は油層を貫き、上面は油面より上にある。

【エネルギー法】傾き $\theta$ のときの全ポテンシャルエネルギーを、円柱の鉛直位置について最小化して ${\theta }^2$ の係数の符号を調べる。容器が広いので、円柱が排除した流体は水面・境界面の高さを変えずに移る。ただし、水を排除すると上の油柱が持ち上がるので、そのエネルギーは数える。こうして排除した流体の寄与を $-g\int \tilde{f}(z)dV$ と書くと、$\tilde{f}$ は次のとおり。
- 水中 $(z<0)$ では $\tilde{f}=\rho z-{\rho }_{o}s$
- 油中 $(0<z<s)$ では $\tilde{f}={\rho }_o(z-s)$

ここで $z=0$ を境界面とした。$\tilde{f}$ は $z=0$ で連続である。${\tilde{f}}^{\prime }$ は水中で $\rho$、油中で ${\rho }_o$ である。

円柱の底面の高さを $w$ とし、$A=\pi a^2$、$c=\cos \theta$、$q=M/A=\rho h/2$、$p={\rho }_{o}s$、${\Phi }_s=-{\rho }_o{s}^2/2$ とおく。断面の慣性モーメントは $\int x^{2}dA=\pi a^4/4$ である。上面は常に油面より上にあるので、$z$ 方向の積分は底面の寄与だけで書ける。

$$\frac{U}{Ag}=qw+\frac{qhc}{2}-\frac{1}{c}({\Phi }_s-\frac{\rho w^2}{2}+pw)+\frac{\rho a^2{\theta }^2}{8c}$$

$w$ について最小化すると、条件は $p-\rho w=qc$ である。$\theta =0$ ではこれが $w=-h/4$ を与え、つり合いと一致する。代入して整理すると次のようになる。

$$\frac{U}{Ag}=\frac{K_1}{c}+K_{2}c+\text{定数}+\frac{\rho a^2{\theta }^2}{8}$$

ここで $K_1=-\frac{p^2}{2\rho }-{\Phi }_s=\frac{{\rho }_o{s}^2}{2}(1-\frac{{\rho }_o}{\rho })=\frac{\rho h^2}{96}$、$K_2=-\frac{q^2}{2\rho }+\frac{qh}{2}=\frac{\rho h^2}{8}$ である。

$1/c\simeq 1+{\theta }^2/2$、$c\simeq 1-{\theta }^2/2$ を使うと、${\theta }^2$ の係数は次のとおり。

$$\frac{K_1-K_2}{2}+\frac{\rho a^2}{8}=\rho (\frac{a^2}{8}-\frac{11h^2}{192})$$

これが正なら安定、負なら不安定である。境界は $a^2=\frac{11}{24}{h}^2$ である。

【検算】油がない場合 $s=0$ では、係数は $\rho (a^2/8-h^2/16)$ となり、臨界は $a^2=h^2/2$ である。これは単一流体の円柱のメタセンタ高さの条件 $\frac{a^2}{2h}-\frac{h}{4}>0$ と一致する。

よって $a_c=h\sqrt{11/24}=\frac{\sqrt{66}}{12}h\approx 0.677h$。