流体力学・連続体の問題

長さ $l=20\mathrm{m}$、幅 $B=6.0\mathrm{m}$ の直方体の箱形はしけが、静水に底面を水平にして浮かんでおり、喫水（水面から底面までの深さ）は $d=1.0\mathrm{m}$ である。積み荷を含めたはしけ全体の重心 G は、幅と長さの中央で、底面から高さ $1.5\mathrm{m}$ の位置にある。はしけが長さ方向の軸のまわりにわずかに傾く（横揺れする）場合を考える。喫水面（水面で切ったはしけの断面）の、長さ方向の中心軸のまわりの断面二次モーメントは $I=\frac{l{B}^3}{12}$ である。

この横揺れに対するメタセンタ高さ $\overline{\mathrm{GM}}$ は何 m か。整数で求めよ。

十分に広い容器に、密度 $\rho$ の水を入れ、その上に密度 $\frac{3}{4}\rho$ の油を厚さ $\frac{h}{3}$ の層になるよう静かに注いだ。油と水は混ざらず、油の上は大気である。

この容器に、密度 $\frac{1}{2}\rho$ の均質な固体でできた半径 $a$、高さ $h$ の直円柱を、中心軸を鉛直にして浮かべた。円柱は静止しており、その上面は油面より上に、底面は油と水の境界面より下にある。

この円柱を、中心軸が鉛直な姿勢から微小な角度だけ傾けたときを考える。$a>a_{\mathrm{c}}$ のときは元の姿勢に戻る向きの力のモーメントがはたらき（安定）、$a<a_{\mathrm{c}}$ のときは傾きを大きくする向きの力のモーメントがはたらく（不安定）。この臨界半径 $a_{\mathrm{c}}$ を $h$ を用いて表せ。

ただし、流体はすべて静止しているとみなす。大気の密度と大気圧の水平方向の変化は無視し、重力加速度の大きさを $g$ とする。容器は十分に広く、円柱が傾いても油面と境界面の高さは変わらないとする。

貯水槽の鉛直な壁に、幅 $w$、高さ $H$ の長方形の水門がある。水門の上辺は水平で、水面から深さ $d(>0)$ の位置にあり、上辺に沿った水平な軸（ちょうつがい）のまわりに自由に回転できる。水門の反対側（外側）は大気に接している。水門の下辺の位置に、外側から水平に大きさ $F$ の力を加えて、水門が鉛直のまま閉じた状態を保っている。

水は密度 $\rho$ の静止した非圧縮性流体とし、水面は大気に接している。重力加速度の大きさを $g$ とする。水門の質量、ちょうつがいの摩擦、水門の厚さは無視し、水門の下辺には $F$ 以外の力（壁から受ける力など）ははたらかないとする。

$F$ を $\rho ,g,w,H,d$ を用いて表せ。

両端を閉じた薄肉の円筒形容器がある。円筒部分の肉厚の中心での半径は $a$、肉厚は $t(t\ll a)$、円筒部分の長さは $L$ である。円筒の壁は、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできている。容器の内容積は $V=\pi a^{2}L$ とみなす。

はじめ、容器は大気圧（ゲージ圧 $0$）の液体ですき間なく満たされている（気泡はない）。この容器に同じ液体をポンプで押し込み、容器内のゲージ圧を $p(>0)$ にする。液体の体積弾性率は $K$ であり、圧力変化 $\Delta P$ に対して体積は $\Delta V/V=-\Delta P/K$ にしたがって変化する。容器の外側は常に大気圧である。

次の近似を用いる。
- 薄肉近似：壁の中の半径方向の応力は、周方向・軸方向の応力に比べて無視し、周方向・軸方向の応力は肉厚方向に一様とする。
- 両端のふた（端板）自身の変形は無視する。ただし、円筒部分の軸方向の伸びによる容積変化は考える。
- 変形は微小で、$p$ について 1 次の量までを考える。温度は一定とする。

ゲージ圧を $0$ から $p$ にするために押し込む必要のある液体の体積を、大気圧（ゲージ圧 $0$）のもとで測った値として、$a,t,L,p,E,\nu ,K$ を用いて求めよ。

間隔 $h(h>0)$ で平行に置かれた 2 枚の無限に広い平板の間を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が満たしている。平板に平行に $x$ 軸、平板に垂直に $y$ 軸をとり、下の平板を $y=0$、上の平板を $y=h$ とする。下の平板は静止しており、上の平板は $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $U(U>0)$ で動いている。

流れは $x$ 方向の定常な層流で、流速は $u(y)$ のように $y$ だけの関数であり、平板の表面では流体は平板と同じ速度をもつ（すべりなし条件）。流体中の圧力 $p$ は $x$ だけの関数で、圧力勾配 $\frac{dp}{dx}$ は一定である。重力の影響は無視する。

平板の間を流れる流体の、$z$ 方向（$x$, $y$ の両方に垂直な方向）の単位幅あたりの正味の体積流量が $0$ になるとき、圧力勾配 $\frac{dp}{dx}$ を $\mu$, $U$, $h$ を用いて表せ。