アルキメデスの原理と浮体のつり合い

底面が水平な正方形（一辺 $0.40\mathrm{m}$）で、高さが $H=25\mathrm{cm}$ の直方体の木材がある。木材は均質で、密度は ${\rho }_{\mathrm{s}}=6.0\times 10^{2}kg/{\mathrm{m}}^3$ である。この木材を、底面を水平に保ったまま密度 ${\rho }_{\mathrm{f}}=1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の静止した水に浮かべたところ、そのまま静止した。重力加速度の大きさを $g$ とし、水面と木材の上面にはたらく大気圧は等しいものとする。

木材の喫水（水面から木材の底面までの深さ）は何 cm か。整数で求めよ。

断面が一辺 $b$ の正方形で、長さ $L(\gg b)$ の一様な角柱が、密度 ${\rho }_0$ の静止した水に、長さ方向を水平にし、正方形断面の 1 辺が水面と平行になる姿勢（底面が水平）で浮かんでいる。角柱の密度は $\rho =s{\rho }_0$（$0<s<\frac{1}{2}$）である。

角柱を長さ方向の軸のまわりにわずかに傾けたとき（微小な横揺れ）、この姿勢がもとに戻る向きの復元モーメントを受ける（安定である）ための条件は、メタセンタ高さ $\overline{\mathrm{GM}}=\overline{\mathrm{BM}}-\overline{\mathrm{BG}}$ が正であることである。ここで G は角柱の重心、B は浮心（水面下の部分の図心）、M はメタセンタで、$\overline{\mathrm{BM}}=\frac{I}{V}$（$I$ は喫水面（水面で切った角柱の断面）の、長さ方向の中心線のまわりの断面二次モーメント、$V$ は水面下の部分の体積）である。

この姿勢が安定であるような $s$ の範囲は $0<s<s_{\mathrm{c}}$ と表される。$s_{\mathrm{c}}$ を正確な値（根号を含む形）で求めよ。ただし、水は静止しており、端の効果は無視する。

十分に広い容器に、密度 $\rho$ の水を入れ、その上に密度 $\frac{3}{4}\rho$ の油を厚さ $\frac{h}{3}$ の層になるよう静かに注いだ。油と水は混ざらず、油の上は大気である。

この容器に、密度 $\frac{1}{2}\rho$ の均質な固体でできた半径 $a$、高さ $h$ の直円柱を、中心軸を鉛直にして浮かべた。円柱は静止しており、その上面は油面より上に、底面は油と水の境界面より下にある。

この円柱を、中心軸が鉛直な姿勢から微小な角度だけ傾けたときを考える。$a>a_{\mathrm{c}}$ のときは元の姿勢に戻る向きの力のモーメントがはたらき（安定）、$a<a_{\mathrm{c}}$ のときは傾きを大きくする向きの力のモーメントがはたらく（不安定）。この臨界半径 $a_{\mathrm{c}}$ を $h$ を用いて表せ。

ただし、流体はすべて静止しているとみなす。大気の密度と大気圧の水平方向の変化は無視し、重力加速度の大きさを $g$ とする。容器は十分に広く、円柱が傾いても油面と境界面の高さは変わらないとする。