流体工学の問題

全長 $L_p=125\mathrm{m}$、浸水表面積 $S_p=2500{\mathrm{m}}^2$ の船（実船）が、海水中を速さ $V_p=10m/s$ で航行するときの全抵抗を、縮尺 $\frac{1}{25}$ の幾何学的に相似な模型船を用いた曳航水槽試験から推定する。

- 模型試験は、フルード数を実船と一致させる条件（フルード相似）で淡水中で行う。重力加速度は模型と実船で等しいとする。
- 淡水の密度は ${\rho }_m=1.000\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、動粘性係数は ${\nu }_m=1.00\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$、海水の密度は ${\rho }_p=1.025\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、動粘性係数は ${\nu }_p=1.25\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ とする。
- この条件で測定した模型船の全抵抗は $R_m=40.0\mathrm{N}$ であった。
- 全抵抗係数 $C_t=\frac{R}{\frac{1}{2}\rho V^{2}S}$（$R$ は全抵抗、$S$ は浸水表面積）は、摩擦抵抗係数 $C_f$ と剰余抵抗係数 $C_r$ の和 $C_t=C_f+C_r$ で表されるとする（フルードの仮定）。$C_f$ は船の全長 $L$ を代表長さとするレイノルズ数 $Re=\frac{VL}{\nu }$ を用いて
$$C_f=\frac{0.075}{({\log }_{10}Re-2{)}^2}$$
で与えられ、$C_r$ はフルード数だけで決まる（模型と実船で等しい）とする。形状影響係数や粗さ修正などは考えない。

このとき、実船の全抵抗 $R_p$ は何 N か。有効数字 2 桁で求めよ。

全長 $L_p=2.0\mathrm{m}$ の水中ロボット（実物）が、海中を速さ $V_p=1.5m/s$ で進むときに受ける抵抗 $R_p$ を調べたい。そこで、実物と幾何学的に相似な全長 $L_m=0.50\mathrm{m}$ の模型をつくり、実物と同じ海水（密度・動粘性係数が実物のときと等しい）を流した水槽の中に固定して、抵抗を測定する。

水面から十分深いところでの実験なので、抵抗は粘性の影響だけで決まるとし、模型と実物のレイノルズ数 $Re=\frac{VL}{\nu }$ を一致させて実験を行う。このとき模型が受けた抵抗は $R_m=90\mathrm{N}$ であった。模型と実物で無次元の抵抗係数 $\frac{R}{\rho V^2{L}^2}$ が等しいとして、実物の抵抗 $R_p$ は何 $\mathrm{N}$ か。整数で答えよ。

長さ $100\mathrm{m}$ の船（実物）の造波抵抗を調べるため、実物と幾何学的に相似な長さ $4.0\mathrm{m}$ の模型をつくり、水槽で曳航実験を行う。造波抵抗は重力波によって生じるので、模型と実物のフルード数 $Fr=\frac{V}{\sqrt{gL}}$（$V$ は船速、$L$ は船の長さ、$g$ は重力加速度の大きさ）を一致させて実験する。

フルード数が実物の船速 $10m/s$ のときと等しくなる速さで模型を曳航したところ、模型の造波抵抗は $32\mathrm{N}$ であった。模型実験の水と実物が航行する水の密度は等しく、$g$ も両者で等しいとする。造波抵抗の無次元数（造波抵抗係数）$\frac{R}{\rho V^2{L}^2}$（$R$ は造波抵抗、$\rho$ は水の密度）は、フルード数が等しければ模型と実物で等しいとする。実物の船速 $10m/s$ のときの実物の造波抵抗は何 $\mathrm{N}$ か。整数で答えよ。

流れの方向の長さ $L=0.40\mathrm{m}$、幅 $b=0.50\mathrm{m}$ の薄い平板を、静止した水の中で、板の面に平行に、長さ $L$ の辺の向きに一定の速さ $U=0.40m/s$ で動かす（板に乗って見ると、一様流 $U$ が板の両面に沿って流れる）。水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、動粘性係数を $\nu =1.0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ とする。

板の長さに基づくレイノルズ数 $R{e}_L=UL/\nu$ が臨界レイノルズ数 $5.0\times 10^5$ より小さいとき、境界層は板の全長にわたって層流とみなせ、板の片面あたりの平均摩擦抵抗係数は
$$C_f=\frac{1.328}{\sqrt{R{e}_L}}$$
で与えられる。片面にはたらく摩擦抵抗は $D_1=C_f\cdot \frac{1}{2}\rho U^2\cdot bL$ で表される。板の厚さによる圧力抵抗と、板の端の影響は無視する。

板の両面にはたらく摩擦抵抗の合計の大きさを、$\mathrm{N}$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

内側の断面が幅 $a=0.10\mathrm{m}$、高さ $b=0.050\mathrm{m}$ の長方形である、まっすぐな長いダクトの中を、空気が満たして定常に流れている。空気の動粘性係数を $\nu =1.5\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2/s$ とし、空気は非圧縮性とみなす。

ダクト内の流れのレイノルズ数を、断面平均流速 $V$ と水力直径 $D_h=\frac{4A}{s}$（$A$ は流路の断面積、$s$ はぬれ縁長さ（断面の周の長さ））を用いて $Re=\frac{V{D}_h}{\nu }$ と定義し、$Re<2300$ のとき流れは層流であるとする。

流れが層流となる体積流量の上限（$Re=2300$ となる体積流量）は何 ${\mathrm{m}}^3/s$ か。有効数字 2 桁で求めよ。