流体工学の問題

長さ（流れの方向）$L=0.40\mathrm{m}$、幅 $b=0.50\mathrm{m}$ の薄い平板を、速さ $U=6.0m/s$ の一様な空気の流れの中に、流れに平行に置いた。空気の密度を $\rho =1.2kg/{\mathrm{m}}^3$、動粘性係数を $\nu =1.5\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2/s$ とする。平板上の境界層は、板の長さに基づくレイノルズ数 $R{e}_L=\frac{UL}{\nu }$ が臨界レイノルズ数 $5\times 10^5$ より小さければ板全体で層流であるとし、層流境界層の平均摩擦抵抗係数は
$$C_f=\frac{1.328}{\sqrt{R{e}_L}}$$
で与えられるものとする。板の厚さと圧力による抵抗は無視する。

平板の両面が受ける摩擦抵抗の合計は何 N か。与えられた数値をそのまま用いて計算し、有効数字 3 桁で求めよ。

全長 $L_p=125\mathrm{m}$、浸水表面積 $S_p=2500{\mathrm{m}}^2$ の船（実船）が、海水中を速さ $V_p=10m/s$ で航行するときの全抵抗を、縮尺 $\frac{1}{25}$ の幾何学的に相似な模型船を用いた曳航水槽試験から推定する。

- 模型試験は、フルード数を実船と一致させる条件（フルード相似）で淡水中で行う。重力加速度は模型と実船で等しいとする。
- 淡水の密度は ${\rho }_m=1.000\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、動粘性係数は ${\nu }_m=1.00\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$、海水の密度は ${\rho }_p=1.025\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、動粘性係数は ${\nu }_p=1.25\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ とする。
- この条件で測定した模型船の全抵抗は $R_m=40.0\mathrm{N}$ であった。
- 全抵抗係数 $C_t=\frac{R}{\frac{1}{2}\rho V^{2}S}$（$R$ は全抵抗、$S$ は浸水表面積）は、摩擦抵抗係数 $C_f$ と剰余抵抗係数 $C_r$ の和 $C_t=C_f+C_r$ で表されるとする（フルードの仮定）。$C_f$ は船の全長 $L$ を代表長さとするレイノルズ数 $Re=\frac{VL}{\nu }$ を用いて
$$C_f=\frac{0.075}{({\log }_{10}Re-2{)}^2}$$
で与えられ、$C_r$ はフルード数だけで決まる（模型と実船で等しい）とする。形状影響係数や粗さ修正などは考えない。

このとき、実船の全抵抗 $R_p$ は何 N か。有効数字 2 桁で求めよ。

空気中を速さ $V_p=25m/s$ で走る自動車（実物）の空気抵抗を調べるため、実物と幾何学的に相似な縮尺 $\frac{1}{4}$ の模型をつくり、回流水槽の水の流れの中に固定して抗力を測定する。模型実験は実物とレイノルズ数が等しくなる流速で行い、そのとき模型にはたらく抗力の測定値は $F_m=830\mathrm{N}$ であった。

空気の密度を $1.2kg/{\mathrm{m}}^3$、動粘性係数を $1.5\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2/s$、水の密度を $1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、動粘性係数を $1.0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ とする。流れは非圧縮性とみなし、抗力係数はレイノルズ数だけで決まる（路面の影響・圧縮性・自由表面の影響は無視できる）ものとする。

実物の自動車が速さ $V_p$ で走るとき、空気抵抗に逆らって走るのに必要な仕事率は何 $\mathrm{kW}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

質量 $m=1200\mathrm{kg}$ の小型飛行機が、密度 $\rho =1.2kg/{\mathrm{m}}^3$ の静止した大気中を、一定の速さ $V=50m/s$ で水平に直進飛行している。主翼の面積（揚力係数・抗力係数の基準面積）は $S=16{\mathrm{m}}^2$ である。この飛行機全体の揚力係数 $C_L$ と抗力係数 $C_D$ の間には
$$C_D=0.025+0.045C_L^2$$
の関係（抗力極曲線）が成り立つものとする。揚力 $L$ と抗力 $D$ はそれぞれ $L=\frac{1}{2}\rho V^{2}S{C}_L$、$D=\frac{1}{2}\rho V^{2}S{C}_D$ で表され、揚力は鉛直上向き、抗力は飛行方向と逆向きにはたらくとする。推力は飛行方向にはたらき、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

この水平定常飛行を保つためにエンジンが推力として供給すべき仕事率（必要パワー）は何 $\mathrm{kW}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

小水力発電所で、上部貯水池の水面と放水路の水面の高さの差（総落差）は $80\mathrm{m}$ である。水は内径 $D=1.0\mathrm{m}$、長さ $L=400\mathrm{m}$ の円管（水圧管）を通って水車に流れ込み、水車を出たあと放水路へ流れ出る。体積流量は $Q=3.0{\mathrm{m}}^3/s$ で一定である。

水圧管の管摩擦係数を $\lambda =0.020$ とし、管摩擦損失ヘッドはダルシー・ワイスバッハの式 $h_f=\lambda \frac{L}{D}\frac{v^2}{2g}$（$v$ は管内の平均流速）で表されるとする。管摩擦以外の損失（入口・曲がり・弁の損失や、放水路へ流れ出る水の運動エネルギーの損失）は無視する。両水面は大気に開放され、水面の高さは変わらないものとする。水車効率を $0.90$、発電機効率を $0.95$ とし、水の密度を $1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

この発電所の発電機の電気出力は何 $\mathrm{MW}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。