平板の境界層と摩擦抵抗

板の長さに基づくレイノルズ数 $R e_{L} = U L / ν$ から境界層が層流か乱流かを判定し、与えられた平均摩擦抵抗係数（層流で $C_{f} = 1.328/ R e_{L}$ など）や境界層厚さの式を使って、平板の摩擦抵抗 $C_{f} \cdot \frac{1}{2} ρ U^{2} \cdot b L$ （両面なら 2 倍）や境界層の厚さを求められる

前提

レイノルズ数と層流・乱流の判定（大学物理流体工学）
抗力係数・揚力係数による抗力と揚力（大学物理流体工学）

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算数中学高校大学大学院

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説明

一様な流れ（速さ $U$ ）に平行に置いた平板の表面には、流体の粘性によって速さが 0 から $U$ まで変わる薄い層、境界層ができます。板の長さ $L$ に基づくレイノルズ数 $R e_{L} = U L / ν$ を計算すれば、この境界層が層流か乱流かを判定でき、与えられた平均摩擦抵抗係数 $C_{f}$ の式から、板が流れから受ける摩擦抵抗 $D_{f} = C_{f} \cdot \frac{1}{2} ρ U^{2} \cdot b L$ を求められます。船体・翼・薄い板などの表面摩擦による抵抗や、境界層の厚さの見積もりに使います。

なぜそうしてよいのか

流体は壁にくっついて壁の上で速さ 0 になり（滑りなし）、壁から離れるにつれて主流の速さ $U$ に近づきます。速さが場所によって違う層どうしは粘性によって引きずり合うので、壁は流れの向きに力（せん断力）を受けます。この速度変化が起こる薄い領域が境界層で、板の前縁からの距離 $x$ が大きくなるほど、壁の影響が流れの中へ広がって厚くなります。

層流と乱流の判定には、前提の技能のレイノルズ数を使います。ただし管ではなく平板なので、代表長さとして直径の代わりに前縁からの距離をとり、 $R e_{x} = U x / ν$ 、板全体では $R e_{L} = U L / ν$ とします（ $ν = μ / ρ$ は動粘性係数）。前縁付近は層流で、 $R e_{x}$ が臨界値（平板ではふつう $5 \times 1 0^{5}$ 程度。値は問題で与えられる）を超えるあたりから乱流になります。板全体で $R e_{L}$ が臨界値より小さければ、境界層は板全体で層流とみなせます。

摩擦抵抗の求め方は、抗力係数による抗力 $D = \frac{1}{2} ρ V^{2} S C_{D}$ と同じ考え方です。板の表面が受ける摩擦力の合計を、動圧 $\frac{1}{2} ρ U^{2}$ と濡れている面積 $S = b L$ （ $b$ は板の幅）で割った無次元数を平均摩擦抵抗係数 $C_{f}$ と定義すると $D_{f} = C_{f} \cdot \frac{1}{2} ρ U^{2} \cdot b L$ です。 $C_{f}$ は $R e_{L}$ だけで決まり、層流なら $C_{f} = 1.328/ R e_{L}$ 、乱流なら $C_{f} = 0.074/ R e_{L}^{1/5}$ などの式が知られています（使う式は問題で与えられる）。両面が流れに接していれば面積が 2 倍なので抵抗も 2 倍です。境界層の厚さ $δ$ も同様に、層流では $δ = 5.0 x / R e_{x}$ のような与えられた式に $R e_{x}$ を代入して求めます。

手順

動粘性係数 $ν$ を確認する（粘性係数 $μ$ と密度 $ρ$ が与えられたら $ν = μ / ρ$ ）
板の長さに基づくレイノルズ数 $R e_{L} = \frac{U L}{ν}$ を計算する（厚さを問われたら位置 $x$ での $R e_{x} = \frac{U x}{ν}$ ）
臨界レイノルズ数と比べて層流か乱流かを判定し、それに合う $C_{f}$ （または $δ$ ）の式を選ぶ
$C_{f}$ を計算する（層流なら $C_{f} = \frac{1.328}{R e _{L}}$ など）
摩擦抵抗 $D_{f} = C_{f} \cdot \frac{1}{2} ρ U^{2} \cdot b L$ を計算し、両面が流れに接していれば 2 倍する

例題

密度 $ρ = 1.2 kg/ m^{3}$ 、動粘性係数 $ν = 1.5 \times 1 0^{- 5} m^{2} /s$ の空気が、速さ $U = 1.2 m/s$ で一様に流れている。この流れに平行に、長さ（流れ方向） $L = 0.5 m$ 、幅 $b = 0.4 m$ の薄い平板を置いた。平板の臨界レイノルズ数を $5 \times 1 0^{5}$ とし、境界層が層流のときの平均摩擦抵抗係数は $C_{f} = \frac{1.328}{R e _{L}}$ で与えられるとする。平板の両面が受ける摩擦抵抗の合計 [N] を有効数字 3 桁で求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $ν = 1.5 \times 1 0^{- 5} m^{2} /s$ が与えられている。

【手順 2】 $R e_{L} = \frac{U L}{ν} = \frac{1.2 \times 0.5}{1.5 \times 1 0 ^{- 5}} = 4.0 \times 1 0^{4}$ 。

【手順 3】 $4.0 \times 1 0^{4} < 5 \times 1 0^{5}$ なので、板全体で境界層は層流。与えられた層流の式を使う。

【手順 4】 $R e_{L} = 4.0 \times 1 0^{4} = 200$ より $C_{f} = \frac{1.328}{200} = 6.64 \times 1 0^{- 3}$ 。

【手順 5】動圧は $\frac{1}{2} ρ U^{2} = \frac{1}{2} \times 1.2 \times 1. 2^{2} = 0.864 Pa$ 、片面の面積は $b L = 0.4 \times 0.5 = 0.2 m^{2}$ 。片面の摩擦抵抗は $6.64 \times 1 0^{- 3} \times 0.864 \times 0.2 \approx 1.147 \times 1 0^{- 3} N$ 。両面なので 2 倍して $2.294 \dots \times 1 0^{- 3} \approx 2.29 \times 1 0^{- 3} N$ 。

答え: $2.29 \times 1 0^{- 3}$

よくある誤り

レイノルズ数の代表長さに板の幅 $b$ や板の厚さを使ってしまう誤り。境界層は流れ方向に発達するので、正しくは流れ方向の長さを使って $R e_{L} = U L / ν$ （例題では $L = 0.5 m$ で $4.0 \times 1 0^{4}$ ）。
両面が流れに接しているのに片面分だけを答えてしまう誤り。正しくは $D_{f} = 2 \times C_{f} \cdot \frac{1}{2} ρ U^{2} \cdot b L$ （例題では $1.15 \times 1 0^{- 3}$ ではなく $2.29 \times 1 0^{- 3} N$ ）。
$ν$ の代わりに粘性係数 $μ$ をそのまま $R e = U L / μ$ に入れてしまう誤り。正しくは $R e_{L} = \frac{ρ U L}{μ} = \frac{U L}{ν}$ で、 $μ$ が与えられたら $ν = μ / ρ$ に直す。
層流・乱流を判定せずに層流の式 $C_{f} = 1.328/ R e_{L}$ を使ってしまう誤り。 $R e_{L}$ が臨界値を超えて乱流になっていれば、正しくは乱流の式（例えば $C_{f} = 0.074/ R e_{L}^{1/5}$ ）を使う。乱流のほうが摩擦抵抗はずっと大きい。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
長さ（流れの方向） $L = 0.40 m$ 、幅 $b = 0.50 m$ の薄い平板を、速さ $U = 6.0 m/s$ の一様な空気の流れの中に、流れに平行に置いた。空気の密度を $ρ = 1.2 kg/ m^{3}$ 、動粘性係数を $ν = 1.5 \times 1 0^{- 5} m^{2} /s$ とする。平板上の境界層は、板の長さに基づくレイノルズ数 $R e_{L} = \frac{U L}{ν}$ が臨界レイノルズ数 $5 \times 1 0^{5}$ より小さければ板全体で層流であるとし、層流境界層の平均摩擦抵抗係数は
$C_{f} = \frac{1.328}{R e _{L}}$
で与えられるものとする。板の厚さと圧力による抵抗は無視する。
平板の両面が受ける摩擦抵抗の合計は何 N か。与えられた数値をそのまま用いて計算し、有効数字 3 桁で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（期末試験の応用レベル）
流れの方向の長さ $L = 0.40 m$ 、幅 $b = 0.50 m$ の薄い平板を、静止した水の中で、板の面に平行に、長さ $L$ の辺の向きに一定の速さ $U = 0.40 m/s$ で動かす（板に乗って見ると、一様流 $U$ が板の両面に沿って流れる）。水の密度を $ρ = 1.0 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$ 、動粘性係数を $ν = 1.0 \times 1 0^{- 6} m^{2} /s$ とする。
板の長さに基づくレイノルズ数 $R e_{L} = U L / ν$ が臨界レイノルズ数 $5.0 \times 1 0^{5}$ より小さいとき、境界層は板の全長にわたって層流とみなせ、板の片面あたりの平均摩擦抵抗係数は
$C_{f} = \frac{1.328}{R e _{L}}$
で与えられる。片面にはたらく摩擦抵抗は $D_{1} = C_{f} \cdot \frac{1}{2} ρ U^{2} \cdot b L$ で表される。板の厚さによる圧力抵抗と、板の端の影響は無視する。
板の両面にはたらく摩擦抵抗の合計の大きさを、 $N$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。