抗力係数・揚力係数による抗力と揚力

動圧 $\frac{1}{2} ρ V^{2}$ と基準面積 $S$ を使って抗力 $D = \frac{1}{2} ρ V^{2} S C_{D}$ ・揚力 $L = \frac{1}{2} ρ V^{2} S C_{L}$ を求め、力のつり合い（水平定常飛行で揚力 $=$ 重力、推力 $=$ 抗力）から必要な係数・推力・必要パワー $D V$ を求められる

前提

ベルヌーイの式とヘッド（大学物理流体工学）
仕事率と仕事の原理（高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））

この技能までの道筋（59 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
メスシリンダーによる体積の測定（中学理科身のまわりの物質）
密度の計算（中学理科身のまわりの物質）
連続の式と流量（大学物理流体工学）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
大気圧による力（中学理科天気とその変化）
水圧（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
力のつり合いと作用・反作用（中学理科物理分野の用語と知識）
圧力・水圧・大気圧・浮力の性質（中学理科物理分野の用語と知識）
圧力・水圧・大気圧（高校物理力と運動（知識））
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））
重力と弾性力の位置エネルギー（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
糸でつながれた物体の運動（高校物理力と運動）
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
ベルヌーイの式とヘッド（大学物理流体工学）
仕事の定義と正・負・0 （高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））
仕事率と仕事の原理（高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））

説明

流れの中に置かれた物体（翼・車体・球など）が流体から受ける力を、流れに平行な成分の抗力 $D$ と、流れに垂直な成分の揚力 $L$ に分け、それぞれを動圧 $\frac{1}{2} ρ V^{2}$ ・基準面積 $S$ ・無次元の係数 $C_{D}$ , $C_{L}$ を使って $D = \frac{1}{2} ρ V^{2} S C_{D}$ , $L = \frac{1}{2} ρ V^{2} S C_{L}$ と見積もれるようになります。飛行機が水平に一定速度で飛ぶのに必要な揚力係数や推力、エンジンに必要なパワー、自動車の空気抵抗などを求める場面で使います。

なぜそうしてよいのか

ベルヌーイの式を圧力の形に書くと $p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g z =$ 一定です。速さ $V$ で流れてきた流体が物体の先端でせき止められて速さ 0 になると、そこでの圧力は上流より $\frac{1}{2} ρ V^{2}$ だけ高くなります。この $\frac{1}{2} ρ V^{2}$ を動圧といい、流れが物体表面に及ぼしうる圧力の「目安の大きさ」になっています。圧力に面積を掛けると力になるので、物体が受ける力はおおよそ $\frac{1}{2} ρ V^{2} \times S$ の大きさになると考えられます。

実際の力は、物体の形や流れに対する向き（翼なら迎え角）によって表面の圧力分布や摩擦が変わるので、この目安とは一定の比だけずれます。その比を、流れに平行な成分について $C_{D} = \frac{D}{\frac{1}{2} ρ V ^{2} S}$ （抗力係数）、垂直な成分について $C_{L} = \frac{L}{\frac{1}{2} ρ V ^{2} S}$ （揚力係数）と定義します。どちらも力を「力の次元をもつ量」で割ったものなので単位のない数です。形と姿勢が同じなら係数はほぼ一定とみなせる場合が多いので、係数さえわかれば $ρ$ , $V$ , $S$ から力を計算できます。なお $S$ は何を基準面積にするかを決めておく必要があり、翼では翼面積（上から見た面積）、球や車体では流れ方向から見た投影面積を使うのがふつうです。

飛行機が水平に一定速度で飛ぶとき（水平定常飛行）は加速度が 0 なので、力のつり合いから鉛直方向は揚力 $=$ 重力（ $L = m g$ ）、水平方向は推力 $=$ 抗力（ $T = D$ ）です。また、推力 $T$ が速さ $V$ で動く機体にする仕事率は、1 秒間に進む距離 $V$ と力の積なので $P = T V = D V$ となり、これが飛び続けるのに必要なパワーです。

手順

動圧 $q = \frac{1}{2} ρ V^{2}$ を計算する（ $ρ$ は流体の密度、 $V$ は物体に対する流れの速さ）
基準面積 $S$ を確認する（翼なら翼面積、球・車体なら流れ方向の投影面積）
抗力・揚力を求めるときは $D = q S C_{D}$ , $L = q S C_{L}$ に代入する
係数を求めるときは力のつり合いを書く。水平定常飛行なら $L = m g$ , $T = D$
つり合いの式を係数について解く： $C_{L} = \frac{m g}{q S}$ , $C_{D} = \frac{T}{q S}$
必要パワーを問われたら $P = D V$ （ $= T V$ ）を計算する

例題

質量 $m = 1000 kg$ の小型飛行機が、密度 $ρ = 1.2 kg/ m^{3}$ の空気中を速さ $V = 50 m/s$ で水平に一定の速さで飛んでいる。翼面積（基準面積）は $S = 16 m^{2}$ 、重力加速度の大きさを $g = 9.8 m/ s^{2}$ とし、揚力は翼だけが生み出すものとする。このときの揚力係数 $C_{L}$ を既約分数で求めよ。

例題の解答

【手順 1】動圧は $q = \frac{1}{2} ρ V^{2} = \frac{1}{2} \times 1.2 \times 5 0^{2} = 1500 Pa$ 。

【手順 2】基準面積は翼面積 $S = 16 m^{2}$ 。よって $q S = 1500 \times 16 = 24000 N$ 。

【手順 3・4】揚力は $L = q S C_{L}$ 。水平定常飛行なので鉛直方向の力のつり合いより $L = m g = 1000 \times 9.8 = 9800 N$ 。

【手順 5】 $C_{L} = \frac{m g}{q S} = \frac{9800}{24000} = \frac{49}{120}$ （約 $0.41$ ）。

答え: $\frac{49}{120}$

よくある誤り

動圧を $ρ V^{2}$ としてしまう誤り（ $\frac{1}{2}$ の付け忘れ）。正しくは $q = \frac{1}{2} ρ V^{2}$ で、たとえば $ρ = 1.2$ , $V = 50$ なら $q = 1500 Pa$ （ $3000$ ではない）。
速さを 2 倍にすると抗力も 2 倍になるとしてしまう誤り。正しくは $D = \frac{1}{2} ρ V^{2} S C_{D}$ は $V^{2}$ に比例するので 4 倍になり、必要パワー $P = D V$ は $V^{3}$ に比例して 8 倍になる（係数が一定とみなせる場合）。
水平定常飛行で揚力と抗力をつり合わせて $L = D$ としてしまう誤り。揚力は鉛直、抗力は水平の力なので、正しくは $L = m g$ （鉛直）と $T = D$ （水平）を別々に書く。
基準面積を取り違える誤り。翼の係数には翼面積を、球の係数には投影面積 $π r^{2}$ を使う（球の表面積 $4 π r^{2}$ ではない）。係数はどの面積を基準にしたかとセットで意味をもつ。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量 $m = 1000 kg$ の小型飛行機が、密度 $ρ = 1.2 kg/ m^{3}$ の空気中を速さ $V = 50 m/s$ で水平に等速飛行している。主翼の基準面積（翼面積）は $S = 16 m^{2}$ である。重力加速度の大きさを $g = 9.8 m/ s^{2}$ とし、揚力は $L = \frac{1}{2} ρ V^{2} S C_{L}$ で表されるものとする。また、機体にはたらく鉛直方向の力は揚力と重力だけとする。
この飛行に必要な揚力係数 $C_{L}$ を、既約分数で求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

平板の境界層と摩擦抵抗（大学物理流体工学）