流体工学の問題

大型の遠心ポンプ（実物）の性能を予測するため、実物と幾何学的に相似な模型ポンプを水で試験した。模型の羽根車の外径は $D_m=0.20\mathrm{m}$ である。最高効率点では、体積流量 $Q_m=0.050{\mathrm{m}}^3/s$、全揚程 $H_m=20\mathrm{m}$、効率 ${\eta }_m=0.80$ であった。

実物の羽根車の外径は $D_p=0.80\mathrm{m}$ で、同じく水を送る。実物は、模型の最高効率点と力学的に相似な運転状態（無次元の流量係数 $\frac{Q}{n{D}^3}$ と揚程係数 $\frac{gH}{n^2{D}^2}$ が模型と等しい状態。$n$ は回転速度）で、全揚程 $H_p=45\mathrm{m}$ を出すように回転速度を選んで運転する。

寸法の違いによる効率の変化（寸法効果）は、ムーディの式
$$\frac{1-{\eta }_p}{1-{\eta }_m}={\left(\frac{D_m}{D_p}\right)}^{1/5}$$
で補正する。ここで ${\eta }_p$ は実物の効率である。効率は $\eta =\frac{\rho gQH}{P}$（$P$ は軸動力）で定義する。水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、効率の補正以外のレイノルズ数の影響は無視する。

このとき、実物ポンプの軸動力 $P_p$ は何 $\mathrm{kW}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

大気中で、固定されたノズルから断面積 $A=2.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$、速さ $V=20m/s$ の水の噴流が水平に噴き出している。この噴流に垂直に置かれた平板が、噴流と同じ向きに一定の速さ $u=5.0m/s$ で遠ざかっている。噴流は板に当たったあと板に沿って板と平行な方向に流れ去る（板から見て、流れは噴流の向きに対して $90^{\circ }$ 曲げられる）。

水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ とし、重力・空気抵抗・板と水の間の摩擦は無視する。噴流の断面積は板に当たるまで変わらず、噴流の内部と周囲の圧力はどこでも大気圧に等しいとする。板とともに動く座標系では流れは定常であるとする。

このとき、水が板に及ぼす力の噴流方向の成分の大きさ $F$ は何 $\mathrm{N}$ か。整数で答えよ。

ある小水力発電所では、大気に開放された上部貯水池から水圧管で水を水車に導き、水車を出た水を大気に開放された放水路へ流している。上部貯水池の水面と放水路の水面の高さの差（総落差）は $H_g=80\mathrm{m}$ で、水圧管などでの損失ヘッドの合計は $h_L=6.0\mathrm{m}$ である。水車を通る水の体積流量は $Q=3.0{\mathrm{m}}^3/s$ で、水車の効率は ${\eta }_t=0.90$、水車に直結した発電機の効率は ${\eta }_g=0.95$ である。水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、両水面の高さは変わらず、両水面での水の速さは無視できるものとする。発電機の電気出力は何 MW か。有効数字 2 桁で求めよ。

大気に開放された 2 つの大きな水槽 A, B が、内径 $D=0.10\mathrm{m}$、全長 $L=50\mathrm{m}$ のまっすぐな円管で結ばれており、管の途中には弁が 1 つある。水槽 A の水面は水槽 B の水面より $H=4.0\mathrm{m}$ 高く、水は A から B へ管を満たして定常に流れている。両水槽は十分に大きく、水面の高さは変わらないものとする。

管内の平均流速を $V$ とし、損失ヘッドは次のように表されるものとする。
- 管摩擦による損失: ダルシー・ワイスバッハの式 $h_f=\lambda \frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$、管摩擦係数 $\lambda =0.018$
- 入口（A から管へ）の損失: ${\zeta }_{\mathrm{in}}\frac{V^2}{2g}$、${\zeta }_{\mathrm{in}}=0.5$
- 弁の損失: ${\zeta }_{\mathrm{v}}\frac{V^2}{2g}$、${\zeta }_{\mathrm{v}}=1.5$
- 出口（管から B へ）の損失: ${\zeta }_{\mathrm{out}}\frac{V^2}{2g}$、${\zeta }_{\mathrm{out}}=1.0$

重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。管内の平均流速 $V$ は何 $m/s$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

水平でまっすぐな道路を、自動車が地面に対して一定の速さ $v=25m/s$ で走っている。自動車の正面から、地面に対して一定の速さ $w=5.0m/s$ の向かい風が、自動車の進行方向と逆向きに吹いている。自動車の前面投影面積を $A=2.2{\mathrm{m}}^2$、抗力係数を $C_D=0.30$（自動車に対する空気の相対速度の大きさで定義した値で、速さによらず一定）、空気の密度を $\rho =1.2kg/{\mathrm{m}}^3$ とする。自動車が空気から受ける抗力にさからって走り続けるためにエンジンが供給しなければならない仕事率は何 kW か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、空気の抗力以外の抵抗（転がり抵抗など）は考えないものとする。