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流体工学の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理流体工学

密度 $ρ$ の静止した空気の中で、質量 $m$ 、直径 $d$ の球を静かに放したところ、球は鉛直下向きにまっすぐ落下した。重力加速度の大きさを $g$ とする。

球にはたらく空気の抗力の大きさは、球の速さを $v$ として
$D = \frac{1}{2} ρ v^{2} C_{D} A, A = \frac{π d ^{2}}{4}$
で表され、抗力係数 $C_{D}$ は速さによらない定数とする（ $A$ は球の前面投影面積）。空気の浮力と、球が加速することによるまわりの空気の影響（付加質量）は無視する。

球の速さが終端速度の $\frac{1}{2}$ になるまでに球が落下する距離を、 $m, ρ, C_{D}, d$ を用いて求めよ。

この問題で使うもの

抗力係数・揚力係数による抗力と揚力（説明と入口の問題）
運動方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（60 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

重力と抗力を考えて運動方程式を立て、加速度が 0 になる条件から終端速度を求める。

ヒント 2

$v_{t}^{2} = \frac{2 m g}{ρ C _{D} A}$ を使うと $v \frac{d v}{d x} = g (1 - \frac{v ^{2}}{v _{t}^{2}})$ と書ける。時間ではなく距離 $x$ を変数にして積分する。

ヒント 3

変数を分離して積分すると $x = - \frac{v _{t}^{2}}{2 g} lo g (1 - \frac{v ^{2}}{v _{t}^{2}})$ となる。ここに $v = v_{t} /2$ を代入する。

答えと解説

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\frac{4 m}{π ρ C _{D} d ^{2}} lo g \frac{4}{3}

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解説を読む

鉛直下向きを正とし、放した点からの落下距離を $x$ とする。球にはたらく力は重力 $m g$ （下向き）と抗力 $D$ （運動と逆向き、すなわち上向き）だけなので、運動方程式は
$m \frac{d v}{d t} = m g - \frac{1}{2} ρ C_{D} A v^{2}$

終端速度
加速度が $0$ になる速さが終端速度 $v_{t}$ で
$m g = \frac{1}{2} ρ C_{D} A v_{t}^{2} ⟹ v_{t}^{2} = \frac{2 m g}{ρ C _{D} A}$
これを使うと運動方程式は
$\frac{d v}{d t} = g (1 - \frac{v ^{2}}{v _{t}^{2}})$

距離を変数にする
$\frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d x} \frac{d x}{d t} = v \frac{d v}{d x}$ より
$v \frac{d v}{d x} = g (1 - \frac{v ^{2}}{v _{t}^{2}})$
変数を分離して、 $x = 0$ で $v = 0$ から $v = v_{t} /2$ まで積分する。
$\int_{0}^{x} g d x = \int_{0}^{v_{t} /2} \frac{v d v}{1 - v ^{2} / v _{t}^{2}}$
右辺は $u = 1 - v^{2} / v_{t}^{2}$ とおくと $d u = - \frac{2 v}{v _{t}^{2}} d v$ なので
$\int_{0}^{v_{t} /2} \frac{v d v}{1 - v ^{2} / v _{t}^{2}} = - \frac{v _{t}^{2}}{2} [lo g u]_{u = 1}^{u = 3/4} = - \frac{v _{t}^{2}}{2} lo g \frac{3}{4} = \frac{v _{t}^{2}}{2} lo g \frac{4}{3}$
よって
$x = \frac{v _{t}^{2}}{2 g} lo g \frac{4}{3}$

代入
$x = \frac{1}{2 g} \cdot \frac{2 m g}{ρ C _{D} A} lo g \frac{4}{3} = \frac{m}{ρ C _{D} A} lo g \frac{4}{3} = \frac{4 m}{π ρ C _{D} d ^{2}} lo g \frac{4}{3}$

$g$ は約分されて答えに残らない。

別解

$k = \frac{1}{2} ρ C_{D} A = \frac{π ρ C _{D} d ^{2}}{8}$ とおく。鉛直下向きを正として運動方程式は $m \frac{d v}{d t} = m g - k v^{2}$ 。終端速度は $m g = k v_{t}^{2}$ より $v_{t} = m g / k$ 。
落下距離 $x$ を求めるため $\frac{d v}{d t} = v \frac{d v}{d x}$ を使うと
$m v \frac{d v}{d x} = m g - k v^{2} = k (v_{t}^{2} - v^{2}) \Rightarrow d x = \frac{m}{k} \frac{v d v}{v _{t}^{2} - v ^{2}} .$
静止状態（ $v = 0$ ）から速さ $v$ になるまで積分して
$x = \frac{m}{2 k} ln \frac{v _{t}^{2}}{v _{t}^{2} - v ^{2}} .$
$v = \frac{v _{t}}{2}$ のとき $\frac{v _{t}^{2}}{v _{t}^{2} - v _{t}^{2} /4} = \frac{4}{3}$ なので
$x = \frac{m}{2 k} ln \frac{4}{3} = \frac{m}{2} \cdot \frac{8}{π ρ C _{D} d ^{2}} ln \frac{4}{3} = \frac{4 m}{π ρ C _{D} d ^{2}} ln \frac{4}{3} .$
検算: 単位は $kg / (kg m^{- 3} \cdot m^{2}) = m$ で長さになる。また $g$ は結果に現れない（距離は $g$ によらず $m / k$ のスケールで決まる）ことも、 $v_{t}^{2} \propto g$ と $d x \propto 1/ k$ から整合する。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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