流体工学の問題

空気中を速さ $V_p=25m/s$ で走る自動車（実物）の空気抵抗を調べるため、実物と幾何学的に相似な縮尺 $\frac{1}{4}$ の模型をつくり、回流水槽の水の流れの中に固定して抗力を測定する。模型実験は実物とレイノルズ数が等しくなる流速で行い、そのとき模型にはたらく抗力の測定値は $F_m=830\mathrm{N}$ であった。

空気の密度を $1.2kg/{\mathrm{m}}^3$、動粘性係数を $1.5\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2/s$、水の密度を $1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、動粘性係数を $1.0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ とする。流れは非圧縮性とみなし、抗力係数はレイノルズ数だけで決まる（路面の影響・圧縮性・自由表面の影響は無視できる）ものとする。

実物の自動車が速さ $V_p$ で走るとき、空気抵抗に逆らって走るのに必要な仕事率は何 $\mathrm{kW}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

流れの方向の長さ $L=0.40\mathrm{m}$、幅 $b=0.50\mathrm{m}$ の薄い平板を、静止した水の中で、板の面に平行に、長さ $L$ の辺の向きに一定の速さ $U=0.40m/s$ で動かす（板に乗って見ると、一様流 $U$ が板の両面に沿って流れる）。水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、動粘性係数を $\nu =1.0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ とする。

板の長さに基づくレイノルズ数 $R{e}_L=UL/\nu$ が臨界レイノルズ数 $5.0\times 10^5$ より小さいとき、境界層は板の全長にわたって層流とみなせ、板の片面あたりの平均摩擦抵抗係数は
$$C_f=\frac{1.328}{\sqrt{R{e}_L}}$$
で与えられる。片面にはたらく摩擦抵抗は $D_1=C_f\cdot \frac{1}{2}\rho U^2\cdot bL$ で表される。板の厚さによる圧力抵抗と、板の端の影響は無視する。

板の両面にはたらく摩擦抵抗の合計の大きさを、$\mathrm{N}$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

長さ $100\mathrm{m}$ の船（実物）の造波抵抗を調べるため、実物と幾何学的に相似な長さ $4.0\mathrm{m}$ の模型をつくり、水槽で曳航実験を行う。造波抵抗は重力波によって生じるので、模型と実物のフルード数 $Fr=\frac{V}{\sqrt{gL}}$（$V$ は船速、$L$ は船の長さ、$g$ は重力加速度の大きさ）を一致させて実験する。

フルード数が実物の船速 $10m/s$ のときと等しくなる速さで模型を曳航したところ、模型の造波抵抗は $32\mathrm{N}$ であった。模型実験の水と実物が航行する水の密度は等しく、$g$ も両者で等しいとする。造波抵抗の無次元数（造波抵抗係数）$\frac{R}{\rho V^2{L}^2}$（$R$ は造波抵抗、$\rho$ は水の密度）は、フルード数が等しければ模型と実物で等しいとする。実物の船速 $10m/s$ のときの実物の造波抵抗は何 $\mathrm{N}$ か。整数で答えよ。

大気に開放された下部水槽から、大気に開放された上部水槽へ、遠心ポンプで水を送り上げる。上部水槽の水面は下部水槽の水面より $20\mathrm{m}$ 高い。両水槽は十分に大きく、水面の高さは一定で、水面での流速は無視できる。

配管は内径 $D=0.10\mathrm{m}$、全長 $L=100\mathrm{m}$（吸込み側と吐出し側の合計）の円管で、管摩擦係数は $\lambda =0.025$ とする。局所損失係数は、管入口が $0.5$、弁と曲がりの合計が $3.5$、管出口（上部水槽への流出）が $1.0$ である。各損失ヘッドは、管内の断面平均流速 $V$ を用いて「損失係数 $\times V^2/(2g)$」で表され、管摩擦損失は $\lambda \frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$ で表されるものとする。

このポンプの全揚程 $H[\mathrm{m}]$ と体積流量 $Q[{\mathrm{m}}^3/s]$ の関係（性能曲線）は
$$H=45-5000Q^2$$
で与えられ、運転点でのポンプ効率は $0.75$ である。水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、流れは定常とする。

この配管系でポンプを運転したときのポンプの軸動力は何 $\mathrm{kW}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

質量 $m=1200\mathrm{kg}$ の小型飛行機が、密度 $\rho =1.2kg/{\mathrm{m}}^3$ の静止した大気中を、一定の速さ $V=50m/s$ で水平に直進飛行している。主翼の面積（揚力係数・抗力係数の基準面積）は $S=16{\mathrm{m}}^2$ である。この飛行機全体の揚力係数 $C_L$ と抗力係数 $C_D$ の間には
$$C_D=0.025+0.045C_L^2$$
の関係（抗力極曲線）が成り立つものとする。揚力 $L$ と抗力 $D$ はそれぞれ $L=\frac{1}{2}\rho V^{2}S{C}_L$、$D=\frac{1}{2}\rho V^{2}S{C}_D$ で表され、揚力は鉛直上向き、抗力は飛行方向と逆向きにはたらくとする。推力は飛行方向にはたらき、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

この水平定常飛行を保つためにエンジンが推力として供給すべき仕事率（必要パワー）は何 $\mathrm{kW}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。