流体工学の問題

流れの方向の長さ $L=0.40\mathrm{m}$、幅 $b=0.50\mathrm{m}$ の薄い平板を、静止した水の中で、板の面に平行に、長さ $L$ の辺の向きに一定の速さ $U=0.40m/s$ で動かす（板に乗って見ると、一様流 $U$ が板の両面に沿って流れる）。水の密度を $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、動粘性係数を $\nu =1.0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ とする。

板の長さに基づくレイノルズ数 $R{e}_L=UL/\nu$ が臨界レイノルズ数 $5.0\times 10^5$ より小さいとき、境界層は板の全長にわたって層流とみなせ、板の片面あたりの平均摩擦抵抗係数は
$$C_f=\frac{1.328}{\sqrt{R{e}_L}}$$
で与えられる。片面にはたらく摩擦抵抗は $D_1=C_f\cdot \frac{1}{2}\rho U^2\cdot bL$ で表される。板の厚さによる圧力抵抗と、板の端の影響は無視する。

板の両面にはたらく摩擦抵抗の合計の大きさを、$\mathrm{N}$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

大きな水槽の底近くに水平な管がつながれ、管の出口から水が大気中に流出している。水槽の水面と管の出口はともに大気圧 $p_0$ にさらされている。水槽の水面から管の出口までの流れで生じる損失ヘッドの合計は、管内の平均流速を $v$ として
$$h_{\mathrm{loss}}=3\frac{v^2}{2g}$$
で表されるものとする。出口での流速を $v=2.8m/s$ にするには、水面の高さを管の出口の中心より何 m 高くすればよいか。重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、水槽は十分大きく水面の降下速度は無視でき、流れは定常であるとする。また、管の出口での流速は管内の平均流速 $v$ に等しく、断面内で一様とする。答えは小数で求めよ。

内径 $20\mathrm{mm}$ の円管の中を、動粘性係数 $\nu =1.0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ の水が満たして定常に流れている。管内の流れのレイノルズ数を、断面平均流速 $V$ と管の内径 $D$ を用いて $Re=\frac{VD}{\nu }$ で定め、臨界レイノルズ数を $2300$ とする（$Re<2300$ のとき層流とする）。

流れが層流を保つための断面平均流速の上限（$Re=2300$ となる流速）は何 $m/s$ か。正確な値（有限小数）で答えよ。

内側の断面が幅 $a=0.10\mathrm{m}$、高さ $b=0.050\mathrm{m}$ の長方形である、まっすぐな長いダクトの中を、空気が満たして定常に流れている。空気の動粘性係数を $\nu =1.5\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2/s$ とし、空気は非圧縮性とみなす。

ダクト内の流れのレイノルズ数を、断面平均流速 $V$ と水力直径 $D_h=\frac{4A}{s}$（$A$ は流路の断面積、$s$ はぬれ縁長さ（断面の周の長さ））を用いて $Re=\frac{V{D}_h}{\nu }$ と定義し、$Re<2300$ のとき流れは層流であるとする。

流れが層流となる体積流量の上限（$Re=2300$ となる体積流量）は何 ${\mathrm{m}}^3/s$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

内径 $D=2.0\mathrm{cm}$ のまっすぐな円管の中を、水が満たして定常に流れている。水の動粘性係数を $\nu =1.0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ とする。管内の平均流速を $V$ として、レイノルズ数を $Re=VD/\nu$ で定め、$Re$ が臨界レイノルズ数 $R{e}_c=2300$ より小さいとき流れは層流になるものとする。

管内の流れが層流であるような体積流量 $Q$ の上限（$Re=R{e}_c$ となるときの体積流量）を、$\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3/s$ 単位で、円周率 $\pi$ を用いた正確な値で求めよ。