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流体工学の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理流体工学

羽根車の直径 $D_{m} = 0.20 m$ の模型ポンプを回転数 $n_{m} = 2400 mi n^{- 1}$ で運転したところ、流量 $Q_{m} = 0.020 m^{3} /s$ 、全揚程 $H_{m} = 8.0 m$ であった。この模型と幾何学的に相似で、羽根車の直径が $D_{p} = 0.60 m$ の実物ポンプを回転数 $n_{p} = 1200 mi n^{- 1}$ で、模型と相似な運転状態（流量係数 $\frac{Q}{n D ^{3}}$ と揚程係数 $\frac{g H}{n ^{2} D ^{2}}$ がそれぞれ模型と等しい状態）で運転する。重力加速度 $g$ は模型と実物で等しいとする。

実物ポンプの流量 $Q_{p} [m^{3} /s]$ と全揚程 $H_{p} [m]$ を、組 $(Q_{p}, H_{p})$ の形でこの順に求めよ。

この問題で使うもの

ポンプの相似則（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（71 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ポンプの相似則の技能を使います。流量係数 $\frac{Q}{n D ^{3}}$ と揚程係数 $\frac{g H}{n ^{2} D ^{2}}$ が模型と実物で等しいという式を立てます。

ヒント 2

$Q_{p} = Q_{m} \frac{n _{p}}{n _{m}} (\frac{D _{p}}{D _{m}})^{3}$ 、 $H_{p} = H_{m} (\frac{n _{p}}{n _{m}})^{2} (\frac{D _{p}}{D _{m}})^{2}$ です。

ヒント 3

寸法比は $3$ 、回転数比は $\frac{1}{2}$ です。

答えと解説

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(0.27, 18)

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解説を読む

1. 寸法比と回転数比を求める

$\frac{D _{p}}{D _{m}} = \frac{0.60}{0.20} = 3, \frac{n _{p}}{n _{m}} = \frac{1200}{2400} = \frac{1}{2}$

2. 流量係数が等しいことから流量を求める

$\frac{Q _{p}}{n _{p} D _{p}^{3}} = \frac{Q _{m}}{n _{m} D _{m}^{3}}$
より
$Q_{p} = Q_{m} \cdot \frac{n _{p}}{n _{m}} (\frac{D _{p}}{D _{m}})^{3} = 0.020 \times \frac{1}{2} \times 3^{3} = 0.020 \times \frac{27}{2} = 0.27 m^{3} /s$

3. 揚程係数が等しいことから全揚程を求める

$\frac{g H _{p}}{n _{p}^{2} D _{p}^{2}} = \frac{g H _{m}}{n _{m}^{2} D _{m}^{2}}$
$g$ は共通なので
$H_{p} = H_{m} (\frac{n _{p}}{n _{m}})^{2} (\frac{D _{p}}{D _{m}})^{2} = 8.0 \times \frac{1}{4} \times 9 = 18 m$

（回転数の単位 $mi n^{- 1}$ は比をとると消えるので、 $s^{- 1}$ に直さなくてよい。）

したがって、答えは $(0.27, 18)$ である。

別解

回転数の比 $\frac{n _{p}}{n _{m}} = \frac{1200}{2400} = \frac{1}{2}$ 、直径の比 $\frac{D _{p}}{D _{m}} = \frac{0.60}{0.20} = 3$ 。
流量係数 $\frac{Q}{n D ^{3}}$ が等しいので
$Q_{p} = Q_{m} \cdot \frac{n _{p}}{n _{m}} (\frac{D _{p}}{D _{m}})^{3} = 0.020 \times \frac{1}{2} \times 27 = 0.27 m^{3} /s .$
揚程係数 $\frac{g H}{n ^{2} D ^{2}}$ が等しく $g$ が共通なので
$H_{p} = H_{m} (\frac{n _{p}}{n _{m}})^{2} (\frac{D _{p}}{D _{m}})^{2} = 8.0 \times \frac{1}{4} \times 9 = 18 m .$

検算: 流量係数は模型 $\frac{0.020}{n _{m} \times 0.2 0 ^{3}} = \frac{0.020}{n _{m} \times 0.008} = \frac{2.5}{n _{m}}$ 、実物 $\frac{0.27}{( n _{m} /2 ) \times 0.216} = \frac{0.27}{0.108 n _{m}} = \frac{2.5}{n _{m}}$ で等しい。揚程係数は模型 $\frac{8.0 g}{n _{m}^{2} \times 0.04} = \frac{200 g}{n _{m}^{2}}$ 、実物 $\frac{18 g}{( n _{m}^{2} /4 ) \times 0.36} = \frac{18 g}{0.09 n _{m}^{2}} = \frac{200 g}{n _{m}^{2}}$ で等しい。

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