流体工学の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理流体工学

大気中で、厚さ $b$ 、速さ $V$ の一様な 2 次元の水の噴流（紙面に垂直な方向には十分に幅が広く、流れはその方向に一様とする）が、固定された十分に広い平板に斜めに当たっている。噴流の中心線と板の面がなす角を $θ$ （ $0 < θ < \frac{π}{2}$ ）とする。噴流は板に当たったあと、板に沿って 2 つの向きに分かれて流れ去る。噴流の中心線と板の面との交点を O とする。

水は非粘性・非圧縮性とし、重力の影響は無視する。噴流の表面と板から十分離れた位置の流れの圧力は大気圧に等しく、板から十分離れた位置では、分かれた 2 つの流れはいずれも板に平行で、速度はそれぞれの断面内で一様とする。板と水の間に摩擦はないものとする。

水が板に及ぼす力の合力の作用線は、点 O からずれた位置で板と交わる。その交点と点 O との距離を $b$ , $θ$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

運動量の法則と噴流が固定板に及ぼす力（説明と入口の問題）
ベルヌーイの式とヘッド（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

板に沿う方向の運動量の保存と質量保存から、分かれた 2 つの流れの厚さ $b_{1}$ , $b_{2}$ を求めます。合力の大きさは板に垂直な方向の運動量の法則から求まります。

ヒント 2

作用線の位置は、点 O まわりの角運動量の法則（モーメントのつり合い）で決まります。流入する噴流の中心線は点 O を通るので、その角運動量流束は $0$ です。

ヒント 3

$b_{1} = \frac{b ( 1 + cos θ )}{2}$ , $b_{2} = \frac{b ( 1 - cos θ )}{2}$ 、 $F = ρ V^{2} b sin θ$ です。分かれた流れの中心線は板から $b_{1} /2$ , $b_{2} /2$ の高さにあることを使って、角運動量の流出流束を計算しましょう。

答えと解説

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\frac{b cos θ}{2 sin θ}

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解説を読む

板に沿って $x$ 軸、板に垂直で噴流が来る側を正とする $y$ 軸をとり、原点を点 O とする。 $x$ 軸の正の向きは、噴流の速度の板に平行な成分の向きとする。紙面に垂直な方向の単位幅あたりで考え、水の密度を $ρ$ とする。

分かれた流れの速さと厚さ
非粘性で重力を無視し、噴流表面と十分離れた位置の圧力はすべて大気圧なので、表面に沿う流線にベルヌーイの定理を使うと、分かれた後の流れの速さも $V$ のままである。 $x$ の正の向き・負の向きに流れ去る流れの厚さを $b_{1}$ , $b_{2}$ とする。

質量保存より
$b_{1} + b_{2} = b (1)$
板と水の間に摩擦がないので、板が水に及ぼす力は $y$ 方向だけで、 $x$ 方向の運動量は保存される。検査体積に入る $x$ 方向の運動量流束は $ρ V b \cdot V cos θ$ だから
$ρ V^{2} b cos θ = ρ V^{2} b_{1} - ρ V^{2} b_{2} ⟹ b_{1} - b_{2} = b cos θ (2)$
$(1), (2)$ より
$b_{1} = \frac{b ( 1 + cos θ )}{2}, b_{2} = \frac{b ( 1 - cos θ )}{2}$

合力の大きさ
$y$ 方向の運動量の法則より、板が水に及ぼす力 $F$ （ $y$ の正の向き）は、流入する $y$ 方向運動量流束 $ρ V b (- V sin θ)$ を打ち消す大きさなので
$F = ρ V^{2} b sin θ$
大気圧は全体にはたらくので合力には寄与しない。

角運動量の法則（点 O まわりのモーメント）
定常流では、検査体積にはたらく外力の点 O まわりのモーメントは、角運動量の流出流束から流入流束を引いたものに等しい（圧力は大気圧で一様なので、正味のモーメントを生むのは板からの力だけである）。

流入する噴流：中心線が点 O を通るので、点 O まわりの角運動量流束は $0$ 。
$x$ の正の向きの流れ：中心線は $y = b_{1} /2$ 、速度 $(V, 0)$ 。単位質量あたりの角運動量の $z$ 成分は $x \cdot 0 - \frac{b _{1}}{2} V = - \frac{b _{1} V}{2}$ で、質量流量 $ρ V b_{1}$ を掛けて $- \frac{1}{2} ρ V^{2} b_{1}^{2}$ 。
$x$ の負の向きの流れ：中心線は $y = b_{2} /2$ 、速度 $(- V, 0)$ 。同様に $- \frac{b _{2}}{2} (- V) = \frac{b _{2} V}{2}$ より $+ \frac{1}{2} ρ V^{2} b_{2}^{2}$ 。

よって正味の流出流束は
$\frac{1}{2} ρ V^{2} (b_{2}^{2} - b_{1}^{2}) = - \frac{1}{2} ρ V^{2} (b_{1} - b_{2}) (b_{1} + b_{2}) = - \frac{1}{2} ρ V^{2} b^{2} cos θ$
板からの力 $F$ （ $y$ の正の向き）の作用点を $(x_{p}, 0)$ とすると、そのモーメントの $z$ 成分は $x_{p} F$ なので
$x_{p} ρ V^{2} b sin θ = - \frac{1}{2} ρ V^{2} b^{2} cos θ$
$x_{p} = - \frac{b cos θ}{2 sin θ}$
水が板に及ぼす力は、これと大きさが等しく向きが反対で、作用線は同じである。したがって合力の作用線は、点 O から厚い流れ（ $b_{1}$ ）と反対側、すなわち上流側へ
$\frac{b cos θ}{2 sin θ}$
だけずれた位置で板と交わる。

別解

板に沿う向きを $x$ （噴流の速度の板方向成分が正になる向き）、板に垂直で噴流が来る側を $y$ とする。単位幅あたりで考える。非粘性で重力・摩擦なし、噴流表面と十分離れた位置の圧力は大気圧なので、ベルヌーイの式より分かれた 2 つの流れの速さもすべて $V$ 。

【流量の配分】分かれた流れの厚さを $b_{1}$ （ $+ x$ 向き）、 $b_{2}$ （ $- x$ 向き）とする。
質量保存： $b_{1} + b_{2} = b$ 。
$x$ 方向の運動量（板は摩擦なしなので板に沿う方向の力は 0）： $ρ V^{2} b cos θ = ρ V^{2} b_{1} - ρ V^{2} b_{2}$ より $b_{1} - b_{2} = b cos θ$ 。
よって $b_{1} = \frac{b ( 1 + cos θ )}{2}$ 、 $b_{2} = \frac{b ( 1 - cos θ )}{2}$ 。

【力の大きさ】板に垂直方向の運動量より、水が板に及ぼす力は板に垂直で大きさ $N = ρ V^{2} b sin θ$ 。

【作用点】点 O まわりの角運動量の定理を水に適用する。流入する噴流の中心線は O を通るので流入角運動量は 0。流出する流れは板から $b_{1} /2$ , $b_{2} /2$ の高さを板に平行に流れる。板が水に及ぼす垂直力（大きさ $N$ ）の作用点を O から $x = d$ とすると、そのモーメントは $N d$ 。
流出の角運動量フラックス（ $z$ 軸まわり）：
$- \frac{b _{1}}{2} ρ V^{2} b_{1} + \frac{b _{2}}{2} ρ V^{2} b_{2} = \frac{ρ V ^{2}}{2} (b_{2}^{2} - b_{1}^{2}) = - \frac{ρ V ^{2}}{2} b^{2} cos θ$ 。

よって $N d = - \frac{ρ V ^{2} b ^{2} cos θ}{2}$ より
$d = - \frac{b cos θ}{2 sin θ} = - \frac{b}{2 tan θ}$ 。

符号は、力の作用点が O から噴流の速度の板方向成分と逆向き（上流側）にあることを示す。O からの距離は $\frac{b}{2 tan θ} = \frac{b cos θ}{2 sin θ}$ 。

検算： $θ \to π /2$ （垂直衝突）で 0（O 直下で左右対称）、 $θ \to 0$ で発散（板にほぼ平行で垂直力が小さい）となり妥当。

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