小孔からの流出と排水時間

準定常近似のもとでトリチェリの定理 $v = 2 g h$ と連続の式から水位の微分方程式 $A (h) \frac{d h}{d t} = - a 2 g h$ を立て、円柱・円錐などの容器が空になるまでの時間や、水位が指定の高さになるまでの時間を変数分離で求められる

前提

ベルヌーイの式とヘッド（大学物理流体工学）
変数分離形（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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説明

容器の底や側面にあけた小さな穴から水が流れ出ると、水位が下がるにつれて流出速度 $2 g h$ も小さくなるので、水位は一定の速さでは下がりません。この技能では、各瞬間にトリチェリの定理 $v = 2 g h$ が成り立つとみなし（準定常近似）、連続の式と組み合わせて水位 $h$ の微分方程式 $A (h) \frac{d h}{d t} = - a 2 g h$ を立て、変数分離で解きます。これにより、円柱や円錐の容器が空になるまでの時間や、水位が指定の高さまで下がる時間を求められます。

なぜそうしてよいのか

水面の断面積を $A$ 、穴の断面積を $a$ とします。 $a$ が $A$ に比べて十分小さいと、水位はゆっくり下がり、各瞬間の流れはほぼ定常流とみなせます。これが準定常近似です。このとき、前提の技能で学んだように水面（圧力は大気圧、速さはほぼ 0）と穴の出口（圧力は大気圧）の間でベルヌーイの式を使うと、穴からの流出速度は、その瞬間の水面から穴までの高さ $h$ を使って $v = 2 g h$ です。

次に、体積の収支（連続の式）を考えます。微小な時間 $d t$ の間に穴から出る水の体積は $a v d t$ で、これは容器内の水の減少分に等しいはずです。水位が $d h$ （ $< 0$ ）だけ変わると容器内の体積は $A (h) d h$ だけ変わるので、 $A (h) d h = - a v d t$ 、つまり
$A (h) \frac{d h}{d t} = - a 2 g h$
が成り立ちます。円錐のように水面の面積が高さで変わる容器では $A$ が $h$ の関数 $A (h)$ になる点に注意します。

この式は $h$ と $t$ を左右に分けられる変数分離形で、 $\frac{A ( h )}{h} d h = - a 2 g d t$ と変形して両辺を積分すれば、水位が $h_{0}$ から $h_{1}$ になるまでの時間 $T = \frac{1}{a 2 g} \int_{h_{1}}^{h_{0}} \frac{A ( h )}{h} d h$ が得られます。円柱（ $A$ 一定）なら $T = \frac{2 A}{a 2 g} (h_{0} - h_{1})$ で、空になるまで（ $h_{1} = 0$ ）は $T = \frac{A}{a} \frac{2 h _{0}}{g}$ です。

手順

水面の断面積を水位 $h$ （穴から水面までの高さ）の関数 $A (h)$ で表す（円柱なら一定、円錐なら相似比から $A (h)$ を求める）
トリチェリの定理と連続の式から微分方程式 $A (h) \frac{d h}{d t} = - a 2 g h$ を立てる
変数を分離する： $\frac{A ( h )}{h} d h = - a 2 g d t$
初めの水位 $h_{0}$ （ $t = 0$ ）から目標の水位 $h_{1}$ （ $t = T$ ）まで両辺を積分する： $\int_{h_{1}}^{h_{0}} \frac{A ( h )}{h} d h = a 2 g T$
$T$ について解き、数値を代入する

例題

断面積 $A = 0.2 m^{2}$ の円柱形の容器に、底から高さ $h_{0} = 4.9 m$ まで水が入っている。容器の底に断面積 $a = 5.0 \times 1 0^{- 4} m^{2}$ の小さな穴をあけたところ、水が流れ出した。穴からの流出速度は、水面から穴までの高さを $h$ として $2 g h$ で与えられる（準定常近似）とし、重力加速度の大きさを $g = 9.8 m/ s^{2}$ とする。穴をあけてから容器が空になるまでの時間 [s] を求めよ。

例題の解答

【手順 1】円柱なので水面の断面積は水位によらず $A = 0.2 m^{2}$ 。

【手順 2】 $A \frac{d h}{d t} = - a 2 g h$ 。

【手順 3】 $\frac{d h}{h} = - \frac{a 2 g}{A} d t$ 。

【手順 4】 $t = 0$ で $h = h_{0}$ 、 $t = T$ で $h = 0$ として積分すると $\int_{0}^{h_{0}} \frac{d h}{h} = \frac{a 2 g}{A} T$ 、左辺は $[2 h]_{0}^{h_{0}} = 2 h_{0}$ 。

【手順 5】 $T = \frac{2 A h _{0}}{a 2 g} = \frac{A}{a} \frac{2 h _{0}}{g} = \frac{0.2}{5.0 \times 1 0 ^{- 4}} \times \frac{2 \times 4.9}{9.8} = 400 \times 1 = 400 s$ 。

答え: $400$

よくある誤り

流出速度を初めの水位の値 $2 g h_{0}$ のまま一定として、 $T = \frac{A h _{0}}{a 2 g h _{0}}$ としてしまう誤り。水位が下がると流出速度も小さくなるので、正しくは微分方程式を解いて $T = \frac{2 A h _{0}}{a 2 g h _{0}}$ （一定とした場合のちょうど 2 倍）。
微分方程式の右辺の符号を落として $A \frac{d h}{d t} = a 2 g h$ としてしまう誤り。水が出ていくと水位は下がるので、正しくは $A \frac{d h}{d t} = - a 2 g h$ で、 $T > 0$ になるよう積分の上下端（ $h_{0}$ から $h_{1}$ へ）に注意する。
円錐など断面積が変わる容器で $A$ を定数として扱ってしまう誤り。例えば頂点を下にした円錐（高さ $H$ 、上面の半径 $R$ 、頂点に穴）では、相似比より正しくは $A (h) = π (\frac{R h}{H})^{2}$ を積分の中に入れる。
$h$ を容器の底から水面までの高さにしてしまう誤り（側面の穴のとき）。 $2 g h$ の $h$ は穴から水面までの高さなので、正しくは穴の高さ $z_{0}$ を引いて $2 g (z - z_{0})$ とする（ $z$ は底から水面までの高さ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
断面積 $A = 0.50 m^{2}$ の直円柱形の水槽が鉛直に置かれ、上面は大気に開いている。はじめ水深は $H = 1.8 m$ で、時刻 $t = 0$ に底面にある断面積 $a = 5.0 \times 1 0^{- 4} m^{2}$ の小孔を開いて水を大気中に流出させる。水深が $h$ のときの小孔からの流出速度はトリチェリの定理 $v = 2 g h$ で与えられるとし（準定常近似）、流出する噴流の断面積は小孔の断面積 $a$ に等しいとする。重力加速度の大きさを $g = 9.8 m/ s^{2}$ とし、水の粘性と縮流は無視する。
水槽が空になるまでの時間は何 s か。根号を含む正確な値で求めよ。

小孔からの流出と排水時間

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題