高度による気圧の減少と大気の質量の割合

気圧が高度とともに一定の割合で減る大気で、ある高度の気圧と地表の気圧の比から、その高度より上にある大気の質量が全体の何 % かや、2 つの高度の間にある大気の質量（全体に対する割合や地球全体での質量）を求められ、逆に上にある大気の質量が全体の 1 % になる高度などを求められる

前提

気圧と高度（高校地学大気と気象）
圧力・水圧・大気圧（高校物理力と運動（知識））

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算数中学高校大学大学院

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圧力・水圧・大気圧（高校物理力と運動（知識））

説明

ある高さの気圧は、その高さより上にある空気の重さで決まります。このことを使うと、「ある高度より上に、大気全体の何 % があるか」を、その高度の気圧と地表の気圧の比だけで求められます。さらに、2 つの高度の間にある大気の質量の割合や、地球全体での質量、そして「上にある大気が全体の 1 % になる高度」なども求められます。大気の大部分が地表近くの薄い層に集中していることを、数値で確かめる場面で使います。

なぜそうしてよいのか

静止した水の中で、深さ $h$ の水圧が上にある水の重さで決まるのと同じように、大気中のある高さでの気圧は、その面 $1 m^{2}$ の上にのっている空気の柱全体の重さ（重力の大きさ）に等しくなります。上の空気が下の空気を押していて、静止した空気ではその重さと気圧による力がつり合っているからです。

ここで、大気の厚さは地球の半径に比べてとても薄いので、どの高さの面もほぼ同じ面積とみなせ、重力加速度 $g$ もほぼ一定とみなせます。すると、地表の気圧 $p_{0}$ は大気全体の重さに、高度 $h$ の気圧 $p$ はその高度より上の大気の重さに比例します。重さは質量に比例するので、
$\frac{高度 h より上の大気の質量}{大気全体の質量} = \frac{p}{p _{0}}$
となります。つまり、気圧の比がそのまま「上にある大気の質量の割合」です。

2 つの高度 $h_{1} < h_{2}$ の間にある大気の質量の割合は、「 $h_{1}$ より上」から「 $h_{2}$ より上」を引いて $\frac{p _{1} - p _{2}}{p _{0}}$ です。気圧が「高さ $H$ ごとに $r$ 倍」になるなら $\frac{p}{p _{0}} = r^{\frac{h}{H}}$ なので、割合も同じ指数の式で求められます。逆に割合が与えられれば、対数をとって高度が求まります。地球全体の質量が必要なときは、大気全体の質量 $M$ に割合をかけます（ $M$ は地表の気圧 $\times$ 地表の面積 $\div g$ で求められます）。

手順

地表の気圧 $p_{0}$ と、気圧の減り方（「高さ $H$ ごとに $r$ 倍」など）を読み取る。
高度 $h$ の気圧の比を $\frac{p}{p _{0}} = r^{\frac{h}{H}}$ で求める。これがその高度より上にある大気の質量の割合になる（百分率なら $\times 100$ ）。
2 つの高度 $h_{1} < h_{2}$ の間の割合は、上にある割合の差 $\frac{p _{1}}{p _{0}} - \frac{p _{2}}{p _{0}}$ で求める。
地球全体での質量を問われたら、大気全体の質量（与えられた値、または $p_{0} \times 地表の面積 \div g$ ）に割合をかける。
上にある割合が決まった値（例：1 %）になる高度を問われたら、 $r^{\frac{h}{H}} = 割合$ の両辺の常用対数をとって $h$ を求める。

例題

大気の気圧は、高度が $5.5 km$ 上がるごとに $\frac{1}{2}$ 倍になるものとする。ある高さの気圧は、その高さより上にある大気の重さによって決まるものとし、重力加速度の高度による変化は考えない。高度 $5.5 km$ から $11 km$ までの間にある大気の質量は、大気全体の質量の何 % か。整数で求めよ。

例題の解答

手順 1：地表の気圧を $p_{0}$ とすると、気圧は $5.5 km$ ごとに $\frac{1}{2}$ 倍になる。

手順 2：高度 $5.5 km$ では $\frac{p _{1}}{p _{0}} = (\frac{1}{2})^{1} = \frac{1}{2}$ 、高度 $11 km$ では $\frac{p _{2}}{p _{0}} = (\frac{1}{2})^{\frac{11}{5.5}} = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ 。よって $5.5 km$ より上に全体の $50 %$ 、 $11 km$ より上に $25 %$ の大気がある。

手順 3：間にある大気の割合は
$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
すなわち $25 %$ 。

答え: $25$

よくある誤り

高度 $h$ の気圧の比 $\frac{p}{p _{0}}$ を、その高度より下にある大気の割合としてしまう誤り。正しくは、気圧は上にのっている空気の重さで決まるので、 $\frac{p}{p _{0}}$ は上にある大気の割合で、下にある割合は $1 - \frac{p}{p _{0}}$ である（例： $5.5 km$ より下は $1 - \frac{1}{2} = 50 %$ ）。
2 つの高度の間の割合を、気圧の比どうしの割り算 $\frac{p _{2}}{p _{1}}$ にしてしまう誤り（ $\frac{1/4}{1/2} = 50 %$ ）。正しくは、全体に対する割合の差をとって $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 25 %$ とする。
大気の質量が高さに比例して一様に分布しているとしてしまう誤り（「 $11 km$ までに半分」など）。正しくは、気圧は一定の割合で減るので、上にある割合は $(\frac{1}{2})^{\frac{h}{5.5}}$ と指数で減り、地表近くに大気が集中している。
上にある大気が 1 % になる高度を求めるときに、 $\frac{p}{p _{0}} = 1$ や $0.99$ としてしまう誤り。正しくは $(\frac{1}{2})^{\frac{h}{5.5}} = \frac{1}{100}$ とおき、 $\frac{h}{5.5} lo g_{10} 2 = 2$ から $h = \frac{11}{l o g _{10} 2}$ と求める。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある地点の地表（高度 $0 km$ ）での気圧は $1000 hPa$ であり、その上空では、気圧は高度が $5.5 km$ 上がるごとに $\frac{1}{2}$ 倍になるものとする。ある高度での気圧は、その高度より上にある大気の重さによって生じるものとし、重力加速度の大きさは高度によらず一定とする。
この地点の上空で、地表から高度 $11 km$ までの間にある大気の質量は、地表より上にある大気全体の質量の何 % か。

この技能を使う問題

高度 $[km]$	0	1.8	3.6	5.4
気圧 $[hPa]$	1000	800	640	512

高度 [km]	0	2.0	4.0	6.0
気圧 [hPa]	1000	800	640	512

この技能の次に学べること

海洋と大気の熱容量の比較（高校地学海洋）