大気と気象の問題

ある地点の地表（高度 $0\mathrm{km}$）での気圧は $1000\mathrm{hPa}$ であった。この地点の上空では、気圧は高度が $5.5\mathrm{km}$ 上がるごとに $\frac{1}{2}$ 倍になるものとする。この地点の上空、高度 $16.5\mathrm{km}$ での気圧は何 hPa か。

地表付近の大気の気圧は、高度が $5.5\mathrm{km}$ 上がるごとにおよそ半分になることが知られている。いま、地球の表面はすべて標高 $0\mathrm{m}$ で、地表の気圧はどこでも $1000\mathrm{hPa}$ であり、気圧は高度 $5.5\mathrm{km}$ ごとにちょうど半分になるものとする。

ある高さの気圧は、その高さより上にある空気の重さが単位面積あたりにおよぼす力に等しい。地球の半径を $6.4\times 10^6\mathrm{m}$、円周率を $3.14$、重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、重力加速度の大きさは高度によらず一定とする。また、大気の厚さは地球の半径に比べて十分小さいので、高度 $11\mathrm{km}$ までの空気の層の面積は地球の表面積と等しいとみなしてよい。

このとき、地表から高度 $11\mathrm{km}$ までの間にある大気の質量は、地球全体で何 $\mathrm{kg}$ か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。

ある地点で気球を使って上空の気圧を測定したところ、次の表の結果が得られた。

この地点の上空では、高度が一定の量だけ増えるごとに、気圧は一定の割合で減少するものとする。この関係は表より上の高度でも成り立つとする。

ある高度 $h[\mathrm{km}]$ より上にある大気について、水平面 $1.0{\mathrm{m}}^2$ あたりの質量を求めたところ $2.0\times 10^3\mathrm{kg}$ であった。$h$ は何 $\mathrm{km}$ か。小数第 1 位を四捨五入して整数で求めよ。

ただし、ある高度での気圧は、その高度より上にある大気の重さによる圧力に等しいとする。重力加速度の大きさは高度によらず $9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$1\mathrm{hPa}=100\mathrm{Pa}$ とし、必要なら ${\log }_{10}2=0.30$、${\log }_{10}9.8=0.99$ を用いよ。

ある日、ある地点の上空で気圧を測ったところ、次の結果が得られた。

この表の気圧の減り方が、より高い高度でもそのまま続くものとする。気圧はその高さより上にある大気の重さによって生じると考える。重力加速度の高度による変化と、高度による地球の表面積の変化は無視する（大気は地球の半径に比べて十分薄い層とみなす）。また、大気の状態は地球全体で同じとする。

ある高度より上にある大気の質量が、大気全体の質量の $1.0\%$ になる。この高度は何 km か。${\log }_{10}2=0.30$ として計算し、整数で答えよ。

標高 $0\mathrm{m}$ の地表で、気温 $20{}^{\circ }\mathrm{C}$、露点 $12{}^{\circ }\mathrm{C}$ の空気塊が、山の斜面に沿って上昇した。空気塊は、雲ができるまでは乾燥断熱減率 $1.0{}^{\circ }\mathrm{C}/100\mathrm{m}$ で、雲ができてからは湿潤断熱減率 $0.5{}^{\circ }\mathrm{C}/100\mathrm{m}$ で温度が下がるものとする。また、雲ができるまでの間、空気塊の露点は $100\mathrm{m}$ 上昇するごとに $0.2{}^{\circ }\mathrm{C}$ ずつ下がるものとし、空気塊の温度が露点に達した高さで雲ができ始めるものとする。

この空気塊が標高 $1800\mathrm{m}$ に達したときの温度は何 ℃ か。